离散数学是一门重要的计算机科学基础课程，涵盖了逻辑、集合论、图论、组合数学等多个领域。本题目的内容涉及到离散数学中的诸多概念和定理，包括命题逻辑、关系、等价关系、图论、函数等。
1. **命题逻辑**：
- 在命题逻辑中，"除非你努力，否则你将失败"可以翻译为"P → ¬Q"，其中P代表"你努力"，Q代表"你失败"。
- "虽然你努力了，但还是失败了"可翻译为"P ∧ ¬Q"，表示P和¬Q同时成立。
2. **集合和子集**：
- 对于集合S={a1, a2, ..., a8}，子集B31表达的是S中的特定元素组合，具体信息不全，无法提供确切的子集表示。
3. **二元关系**：
- 在集合A={2, 3, 4, 5, 6}上，给出的二元关系R是一个包含了所有可能的从2到6的有序对的集合，表示R是一个包含自反性和对称性的关系。
4. **关系矩阵**：
- R的关系矩阵MR是一个5x5的矩阵，其中非零元素表示对应元素在R中的关系，具体矩阵未给出，无法详细描述。
5. **对称性和反对称性**：
- 对于集合A={1, 2, 3}，一个既不对称也不反对称的关系R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}，而一个既是对称又是反对称的关系R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}。
6. **图论**：
- n个结点的无向完全图Kn的边数是n*(n-1)/2，因为每个结点与其他n-1个结点都有一条边相连。
- 欧拉图的充要条件是图中没有奇数度的结点且图是连通的。
7. **逻辑公式和根树**：
- 公式的根树表示涉及命题逻辑中的合取、析取、否定等操作，具体公式未给出，无法进一步分析。
8. **选择题**：
- 选择题部分涉及重言式判断、极小项计数、集合元素数量、等价关系的划分、关系性质、有向图路径、欧拉图识别等，需要具体解答各个题目。
9. **证明**：
- 等价关系的性质：证明一个关系是等价关系需要证明其具备自反性、对称性和传递性。
- 逻辑推理证明：涉及逻辑命题的蕴含、合取、析取等操作，用于证明逻辑结论。
- 函数性质：如果f是A到B的满射，可以证明g是从B到A的单射。
- 图论证明：如果无向图G只有两个奇数度结点，可以利用图论的基本定理证明这两个结点必须连通。
- Hamilton图的识别：通过反证法证明如果任意两个结点的度数之和不小于n，那么图G是Hamilton图。
10. **计算**：
- 最优二叉树构造：这是一个涉及信息熵和哈夫曼编码的问题，需要构建一棵二叉树，使所有叶子节点的权值之和最小。
以上是对离散数学习题的部分解析，每个知识点都对应着离散数学的重要概念，这些知识在计算机科学，特别是算法设计、数据结构和编译原理等领域中有着广泛应用。
