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泛函分析考试题集与答案.docx
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泛函分析复习题 2012
1 .在实数轴 R 上,令 d (x, y)| xy |p ,当 p 为何值时, R 是度量
空间, p 为何值时, R 是赋范空间。
解 : 若 R 是 度 量 空 间 , 所 以
x, y, z
R , 必 须 有 :
d ( x, z)
d ( x, y)d ( y, z) 成立
即 | xz | p| xy | p | yz |p ,取 x1, y
0, z
1 ,
有 2 p 1p1p
2 ,所以, p1
若 R 是赋范空间,
p
d (x,0)|| x || | x | ,所以
x, k
R ,
必须有: || kx || | k ||| x || 成立,即 | kx | p| k || x | p , p1 ,
当 p1 时,若 R 是度量空间, p1 时,若 R 是赋范空间。
2 .若 ( X , d ) 是度量空间,则
d1min( d ,1) , d 2
d
1 d
也是使 X 成
为度量空间。
解:由于 ( X ,d ) 是度量空间,所以 x, y, zX 有:
1 ) d ( x, y)0 ,因此 d1 ( x, y)
min( d (x, y),1) 0
和 d( x, y)
2
d ( x, y)
1d (x, y)
0
且当 x
y 时 d( x, y)
0 ,
于是 d ( x, y)
1
min( d (x, y),1)
0 和 d(x, y)
d (x, y)
2
0
.
1 d (x, y)
以及若
精品文档
d ( x, y)
1
min( d (x, y),1)
0 或 d ( x, y)
2
1
d( x, y)
d ( x, y)
0
均有 d (x, y)
0 成立,于是 x
y 成立
2 ) d ( y, x) d ( x, y) ,
因此 d 1 ( y, x)
min( d ( y, x),1)
min( d( x, y),1)d1 ( x, y)
和 d( y, x)
2
d ( y, x)
1d ( y, x)
1
d ( x, y)
d (x, y)
d( x, y)
2
3 ) d ( x, z) d ( x, y)d ( y, z) ,因此
d1 (x, z)
min( d( x, z),1) min{ d ( x, y)d ( y, z),1}
min( d ( x, y),1)min( d ( y, z),1)
d1 ( x, y)d 1 ( y, z)
以及设
f ( x)
x
1 x
, f ( x)
(1
1
x)
2
0 ,所以 f ( x) 单增,
所以 d( x, z)
d ( x, z)
d ( x, z)
d ( x, y)d ( y, z)
2
1 1 d (x, y) d ( y, z)
d ( x, y)
1d( x, y)
d ( y, z)
d( y, z)1d ( x, y)d ( y, z)
d (x, y)
1d( x, y)
1
d ( y, z)
d ( y, z)
d(x, y)
2
d( y, z)
2
综上所述 d
1
min( d ,1) 和 d
d
2
均满足度量空间的三条件,
.
1 d
故
d
1
(
x
,
y
)
和
d
2
(x, y) 均使
X
成为度量空间。
精品文档
.
3. 设 H 是内积空间,
x
n
, x, y
n
, y H ,则当 x
n
x , y
n
y 时,
( x
n
, y
n
) ( x, y) ,即内积关于两变元连续。
解:
H
是内积空间, 设
|| ||
是由其内积导出的范数, 由于
x
n
x
,
y
n
y
,
所 以
0
,
n
0
使 得 当 n n
0
时 均 有 || x
n
x ||
和
|| y
n
y ||
同时由于 y
n
y
,故知
y
n
有界, x H 所以 || x ||有限。因此可
取
M sup (|| x ||,|| y
n
||)
1 n
因此 | ( x
n
,
y
n
) ( x, y)
|
| ( x
n
,y
n
) (x, y
n
) ( x, y
n
) ( x, y) |
| (x
n
, y
n
)
( x, y
n
) | | (x, y
n
) ( x, y)
|
| ( x
n
x, y
n
) | | ( x, y
n
y) |
|| x
n
x || || y
n
|| || x |
|
|| y
n
y || | M | x
n
x || M || y
n
y || 2M
故
lim{
n
(
x
n
,
y
n
)
(
x
,
y
)}
0
,
即
(x
n
, y
n
) ( x, y)
4. 设
X , Y 是线性赋范空间, T : X Y 是线性算子,则 T 不是连续
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.
的,当且仅当
x
n
X
,使得 x
n
0 ,但 || Tx
n
||
解: 设
T
不是连续的,则
T
在
X
上的每一点
x
0
都不是连续的,因
此在点
x
0
0
也不是连续的。 则 T 在包含 X 上 0 点的任何有界邻域内
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均无界,
取 S
1
O(0, 1)
2
X ,则 T 在 S 上无界,因此
1
x
1
S ,
1
使得 || Tx1 || 1 成立。
取 S2 O(0,
1
2
2 ) X ,则 T 在 S2 上无界,因此
x2 S2 ,
使得 || Tx2 ||2 成立。
类似地过程一直进行,直到
取 Sn O(0,n )
1
2
X ,则 T 在 Sn 上无界,因此
xn Sn ,
.
使得
||
Tx
n
||
n
成立。
因此,
x
n
X
,使得
x
n
0
,
但
||Tx
n
||
另外,如果有
x
n
X
, 当
x
n
0
,
有
||Tx
n
||
由于在
Y
上不能找到一点 y
Y ,使得 || Ty |
|
,因此对所有的
点 y Y ,均无法使
得
|| Ty |
|
成立,因此,在条件
x
n
0
下,对
于所有的点 y
Y ,
||
Tx
n
||
Ty
均不成立。所以 T 在 X 上的 0 点不
是连续的,故
T
不是连续的。
5 . 对 于 每 个 有 界 序 列
(
n
)
, 定 义 线 性 算 子
T : l
p
l
p
,
(
x
1
,
x
2
, ) |
(
1
x
1
,
2
x
2
, )
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