数值积分——Newton-Cotes 求积公式
湘潭大学
,
数学与计算科学学院
一、Newton-Cotes 求积公式
对 [a, b] 的 n 等分点 x
k
= a + kh, h =
b−a
n
, k = 0, 1, 2, · · · , n
n 阶 Newton-Cotes 公式
∫
b
a
f(x)dx ≈ (b − a)
n
∑
k=0
c
(n)
k
f(x
k
)
Cotes 系数，令 x = a + th
C
(n)
k
=
1
n
∫
n
0
n
∏
i=0
i=k
t − i
k − i
dt =
(−1)
n−k
nk!(n − k)!
∫
n
0
n
∏
i=0
i=k
(
t
−
i
)
d
t
表 1 Cotes 系数
n C
(n)
k
1
1
2
1
2
2
1
6
4
6
1
6
3
1
8
3
8
3
8
1
8
4
7
90
32
90
2
90
32
90
7
90
5
19
228
75
228
50
228
50
228
75
228
19
228
6
41
840
216
840
27
840
272
840
27
840
216
840
41
840
7
751
17280
3577
17280
1323
17280
2989
17280
2989
17280
1323
17280
3577
17280
751
17280
8
989
28350
5888
28350
−
928
28350
10496
28350
−
4540
28350
10496
28350
−
928
28350
5888
28350
989
28350
· · · · · ·
n=1 时，代入 Cotes 系数得到梯形公式
∫
b
a
f(x)dx ≈
b − a
2
(f(a) + f(b)).
n=2 时, 代入 Cotes 系数得到 Simpson 公式
∫
b
a
f(x)dx ≈
b − a
6
(
f(a) + 4f
(
a + b
2
)
+ f(b)
)
.
1
