《数值分析》上机实验报告 (2).docx

《数值分析》上机实验报告主要探讨了使用牛顿法（Newton's method）求解代数方程的方法，以及在实际编程实现中的应用。牛顿法是一种迭代算法，用于求解方程的根，其基本思想是通过构建函数在当前点的切线，并寻找切线与x轴的交点作为下一次迭代的近似解。以下是实验的详细内容和相关知识点： 1. 牛顿法理论基础： 牛顿法适用于函数在某区间内连续、二阶可导的情况。在区间[a, b]内，若函数f(x)满足以下条件： - f(a) * f(b) < 0，保证区间内有零点； - f'(x)不为零，确保切线存在； - 函数单调性，即f''(x) * (b-a) < 0，保证曲线向下凹或者向上凸，有利于收敛。 迭代公式为：x_{k+1} = x_k - f(x_k) / f'(x_k)，其中x_k是每次迭代的近似解。当|x_{k+1} - x_k| < ε时，认为找到足够精确的根，ε是预设的误差阈值。 实验中，选取方程x^7 - 28x^4 + 14 = 0，初始值为1.9。C语言程序实现迭代求解，通过do-while循环，判断误差是否满足要求，直至找到近似根。MATLAB程序也实现了同样的逻辑，使用feval函数进行函数和导数的求值。 2. 问题讨论： - 牛顿法的局限性在于要求解的方程必须满足一定的条件，比如函数的单调性和二阶导数的符号，但在实际计算中这些条件可能不易检验。 - 牛顿法具有平方收敛的性质，意味着随着迭代次数增加，解的精度提升速度很快。然而，它仅局部收敛，要求初始值接近真实根，否则可能不收敛或收敛到其他非目标根。 3. 三次样条插值： 三次样条插值是一种插值方法，用于通过一系列离散点构造平滑的三次多项式函数。在给定函数值f(x)和导数值f'(x)的情况下，可以构建一个三次样条函数S(x)，使其在每个数据点处都连续，且导数也连续。对于插值问题f(4.563)和f'(4.563)，需要根据已知的数据点计算出样条函数的具体形式，然后求解在x=4.563处的函数值和导数值。 总结来说，这个实验报告涵盖了数值分析中的重要概念——牛顿法和三次样条插值，同时展示了如何将理论知识应用于实际编程解决问题。实验结果表明，牛顿法在满足一定条件时可以有效地求解方程，而三次样条插值则为光滑函数的构建提供了一种有效工具。