2阶实对称矩阵特征值和特征向量的简单求解方法.docx
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2020-02-13
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2 阶实对称矩阵特征值和特征向量的简单求解方法
1、2 阶实对称矩阵特性
定理：2 阶实对称矩阵 H 的特征值是实数
H=[a , b ; b , c ]
a,b,c 是实数，
λ
是特征值
A=[a−λ , b ; b , c−λ ]
特征值求解方法为：(a-
λ
)(c-
λ ¿
-
b
2
= 0
求解方程得到两个根为：
λ=
（a+c ）±
√
（a+c ）
2
− 4 （ac−b
2
）
2
（ a+c ）
2
−4 （ac−b
2
）=
(
a−c
)
2
+4 b
2
≥ 0
所以，在 a、b、c 为实数时，特征值也是实数。
2、特征向量
根据特征值和特征向量的定义：HX=λX，（H-λE）X = 0；因此方程若有解，则
det（H-λE）=0；
设
A=[a−λ , b ;b , c−λ ]
则有-b/(a-λ) = (c-λ)/b, 线性齐次方程组 AX=0 有非零解，其中之一解向量 [1,-b/(a-
λ)],归一化后得到标准解。
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