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MATLAB 简介
MATLAB(MATrix LABoratory,即矩阵实验室)是 MathWork 公司推出的一套高效率的
数值计算和可视化软件。MATLAB 是当今科学界最具影响力、也是最具活力的软件,它起
源于矩阵运算,并已经发展成一种高度集成的计算机语言。它提供了强大的科学运算、灵活
的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。
MATLAB 语言之所以如此受人推崇是因为它有如下这些优点:
1.编程简单使用方便
MATLAB 的基本数据单元是既不需要指定维数、也不需要说明数据类型的矩阵,而且
数学表达式和运算规则与通常的习惯相同。因此,在 MATLAB 环境下,数组的操作与数的
操作一样简单。MATLAB 的矩阵和向量操作功能是其他语言无法比拟的。
2.函数库可任意扩充
由于 MATLAB 语言库函数与用户文件的形式相同,所以用户文件可以像库函数一样随
意调用。所以用户可根据自己的需要任意扩充函数库。
3.语言简单内涵丰富
MATLAB 语言中最重要的成分是函数,其一般形式为:
Function [a,b,c…]=fun(d,e,f…)
其中,fun 是自定义的函数名,只要不与库函数名相重,并且符合字符串的书写规则即
可。这里的函数既可以是数学上的函数,也可以是程序块或子程序,内涵十分丰富。每个函
数建立一个同名的 M 文件,如上述函数的文件名为 fun.m。这种文件简单、短小、高效,
并且便于调试。
4.简便的绘图功能
MATLAB 具有二维和三维绘图功能,使用方法十分简便。而且用户可以根据需要在坐
标图上加标题。坐标轴标记。文本注释及栅格等,也可一指定图线形式(如实线、虚线等)和
颜色,也可以在同一张图上画不同函数的曲线,对于曲面图还可以画出等高线。
5.丰富的工具箱
由于 MATLAB 的开放性,许多领域的专家都为 MATLAB 编写了各种程序工具箱。这些
工具箱提供了用户在特别应用领域所需的许多函数,这使得用户不必花大量的时间编写程序
就可以直接调用这些函数,达到事半功倍的效果。
第二章 基本语法
2.1 变量及其赋值
1. 标识符与数
2. 矩阵及其元素的赋值
变量=表达式(数)
a=[1 2 3; 4 5 6;7 8 9]
x=[-1.3 sqrt(3) (1+2+3)/5*4]
x(5)=abs(x(1))
a(4,3)=6.5
a(5,:)=[5,4,3]
b=a([2,4],[1,3])
a([2,4,5], : )=[]
a/7
元素之间用逗号、空格分开。不同行以分号隔开。
语句结尾用回车或逗号,会显示结果,如果不想显
示结果,用分号。元素用()中的数字(下标)来
注明,一维用一个下标,二维用两个下标,逗号分
开。
如果赋值元素的下标超过原来矩阵的大小,矩阵的
行列会自动扩展。
全行赋值,用冒号。
提取交点元素;抽取某行元素用空矩阵。
3. 复数
c=3+5.2i
z=[1+2i,3+4i; 5+6i,7+8i]
z=[1,3; 5,7]+[2,4; 6,8]*i
f=sqrt(1+2i)
f*f
w=z’ (共轭转置)
u=conj(z) (共轭)
v=conj(z)’ (转置)
复数的虚数部分用 I 或 j 表示,如曾用过 i, j 作变量,用 clear i,j
复数矩阵有两种赋值方法:①将其元素逐个赋予复数;②将其实
部和虚部矩阵分别赋值。
Z’复数矩阵共轭转置:行列互换,各元素的虚部反号。
函数 conj(z)共轭:只把各元素的虚部反号。
转置 conj(z)’:行列互换。
4.变量检查
who
whos
inf
NaN
检查工作空间中的变量;
变量的详细特征
无 穷 大 1/0 ; 非 数 ( Not a Number ) 0/0 inf/inf
0*inf。系统部停止运算,结果仍为 inf 或 NaN。
5.基本赋值矩阵
f1=ones(3,2)
f2=zeros(2,3)
f3=magic(3)
f4=eye(2)
f5=linspace(0,1,5)
fb1=[f1,f3;f4,f2]
fb2=[fb1;f5]
全 1 矩阵
全 0 矩阵
魔方矩阵:元素由 1 到 nn 的自然数组成,每行、每
列及两对角线上的元素之和均等于(n
3
+n)/2。
单位矩阵是 n×n 阶的方阵。对角线上元素为 1。
线性分割函数
大矩阵可由小矩阵组成,其行列数必须正确,恰好
填满全部元素。
2.2 矩阵的初等运算
1. 矩阵的加减乘法
i. 加、减法:相加减的两矩阵阶数必须相同,对应元素相加减。
[n,m]=size(fb2)
x=[-1 0 1]; y=x-1
语句 size 检查矩阵阶数,两矩阵相加,阶数必须相同。
两相加减的矩阵中有一个是标量时,MATLAB 将标量扩展成同等元素矩
阵,与另一矩阵相加减。
ii.矩阵乘法
n×p 阶矩阵 A 与 p×m 阶矩阵 B 的乘积 C 是 n×m 阶矩阵。P 是 A 阵的列
数,B 阵的行数,称为两个相乘矩阵的内阶数。两矩阵相乘的必要条件是
内阶数相等。
C(i,j)=Σ
k
A(i,k)·B(k,j)值为 A 阵第 i 行和 B 阵第 j 列对应元素乘积的和。
pi*x
x*y’
y’*x
eye(3)*a
a*eye(3)
a=[1 2 3; 3 -5 4; 7 8 9]
x=[x1,x2,x3]
b=[2;0;2]
ax'=b
x=a\b
标量与矩阵相乘,不检查阶数,标量乘以矩阵的每一个元素。
X 与 y 内阶数不同,将 y 转置 y’。读作 x 左乘 y’。
X 右乘 y’。
左、右乘结果不同,只有单位矩阵例外。单位矩阵乘以矩阵 A,左、右乘
结果仍等于该矩阵。
方程组 x
1
+2x
2
+3 x
3
=2 可以表示为 ax’=b
3 x
1
-5 x
2
+4 x
3
=0
7 x
1
+8 x
2
+9 x
3
=2
2. 矩阵的除法及线性方程组的解
AV=I
V=A
-1
V=inv(a) inv(a)*a
D*X=B
inv(D)*D*X=inv(D)*B
inv(D)*D=I
I*X=X
X=inv(D)*B=D\B
X=D\B
X*D=B
X=B*inv(D)=B/D
a=[1 2 3;4 5 6]
b=[2 4 0; 1 3 5]
d=[1 4 7; 8 5 2; 3 6 0]
a*b
a'*b
a*b'
d\a
d\a'
a/d
A=[6 3 4; -2 5 7; 8 -4 -3]
B=[3;-4; -7]
X=A\B
n×n 阶方阵 A 和同阶的方阵 V 相乘,得出 n 阶单位矩阵 I。
I 为 eye(n)。
V 是 A 的逆阵。V 存在条件:A 的行列式不等于 0,det(A)≠0
V=A
-1
MATLAB 内部函数 inv,得出 A 的逆阵 V。
D 与 B 行数相等
两端同时左乘以 inv(D) 逆阵
单位阵
D\B 为 D 左除 B,左除时阶数检查条件:两矩阵的行数必须相
等。
未知矩阵在左
D 的逆阵右乘以 B,记作 /D 右除。
右除时阶数检查条件:两矩阵的列数必须相等。
解线性方程组 Ax=B
6x
1
+3x
2
+4x
3
=3
-2 x
1
+5 x
2
+7 x
3
=-4
8 x
1
-4 x
2
-3 x
3
=-7
3. 矩阵的乘方和幂次函数
MATLAB 的运算符*、/、\、和^,指数函数 expm、对数函数 logm 和开方函数 sqrtm 是对矩阵进行的,即
把矩阵作为一个整体来运算。除此以外,其他 MATLAB 函数都是对矩阵中的元素分别进行,英文直译为
数组运算(Array Operations),译为“元素群运算”
S=[1 2; 3 4]
D=[1 4 7; 8 5 2; 3 6 0]
D^2
2.^D
D^S
U1=sqrtm(S)
U2=sqrt(S)
V1=expm(S)
V2=exp(S)
logm(D)
log(D)
幂次运算:
矩阵为底数,指数是标量,同矩阵乘法一样,为保内阶数相同,底数的矩阵
必须是方阵。
矩阵是指数,底数是标量,矩阵也必须是方阵。底数和指数不能同时为矩
阵。
按矩阵运算,等于 D* D
按元素群运算
非法运算
按矩阵运算,求平方根,可以用 U1* U1=S
按元素群运算,U2* U2≠S,U2.×U2=S
按矩阵运算
按元素群运算
按矩阵运算
按元素群运算
4. 矩阵结构形式的提取与变换
A=[8 1 6 0; 3 5 7 1; 4 9 2 2]
B1=fliplr(A)
B2=flipud(A)
B3=reshape(A,2,6)
B4=rot90(A)
B5=diag(A)
B6=tril(A)
B7=triu(A)
B8=A(: )'
提取矩阵中某些特殊结构的元素,组成新的矩阵,改变矩阵结构。
fliplr 矩阵左右翻转
flipud 矩阵上下翻转
reshape 阶数重组(元素总数不变)
rot90 矩阵整体反时针旋转 90 度
diag 提取或建立对角阵
tril 取矩阵的左下三角部分
triu 取矩阵的右上三角部分
将元素按列取出排成一列
2.3 元素群运算
1. 数组及其赋值
数组是单行或单列的矩阵,一个 N 阶的数组可以表述为一个 N 组向量。
t=[0 : 0.02 : 1]
z=10 : -3: -5
k=1 : 6
theta= linspace (0, 2*pi, 9)
w=logspace (0, 1, 11)
(1) 用两个冒号组成等增量语句
格式:t=[初值:增量:终值]
增量也可以设为负值,此时初值要比终值大
增量为 1 时,增量值可以省略。
(2) 用 linspace 函数
格式:linspace(初值、终值、点数)
logspace 函数,自变量按等比级数赋值。
从 10 的 0 次幂到 1 次幂之间按幂等分为 11 点(数是等比的)
2. 元素群的四则运算和幂次运算
元素群的运算是矩阵中所有元素按单个元素运算。运算符前加.号,表示元素群运算。
元素群的运算的两个矩阵必须是同阶的。(标量会自动扩展为同阶矩阵参与运算)
x=[1, 2, 3]
y=[4, 5, 6]
z=x.*y
z=x.\y
z=x.^y
z=x.^2
z=2.^[x y]
d=[1 4 7; 8 5 2; 3 6 0]
d
d^3
d.^3
3.^d
3^d
x*y 不能成立
元素群没有左除右除之分
x^y 能成立吗?
x^2 能成立吗?
2^[x y] 能成立吗?
元素群的幂次运算是各个元素自行作幂次运算,对每个元素的这种
运算和对标量运算一样。但是,不能将元素群运算称为数组运算。
区别以下运算
输入算式
d
d^3 d.^3
输出结果
1 4 7
8 5 2
3 6 0
627 636 510
804 957 516
486 612 441
1 64 343
512 125 8
27 216 0
3.^d
3 81 2187
6561 243 9
27 729 1
3^d
1.0e+005 *
2.6388 - 0.0000i 3.0233 + 0.0000i 1.9754 + 0.0000i
3.4735 - 0.0000i 3.9797 + 0.0000i 2.6003 + 0.0000i
2.3170 - 0.0000i 2.6546 + 0.0000i 1.7345 + 0.0000i
3.元素群的函数
除矩阵运算的乘、右除、左除、幂指数(× / \ ^)、 sqrtm、expm、logm 函数外,基本函
数库中的常用函数都可用于元素群运算。自变量可以是任意阶的矩阵。
基本函数库(elfun)
三
角
函
数
sin 正弦 acot 反余切 atanh 反双曲正切
tan 正切 csch 双曲余割 sec 正割
acos 反余弦 asech 反双曲正割 cot 余切
atan2(x,y) 4 象 限 反 正
切
acoth 反双曲正切 acsc 余割
cosh 双曲余弦 cos 余弦 sech 双曲正割
acosh 反双曲余弦 asin 反正弦 coth 双曲余切
asinh 反双曲正弦 atan 反正切 acsch 反双曲余割
csc 余割 sinh 双曲正弦
asec 反正割 tanh 双曲正切
指数
函数
exp 以 e 为 底 的
指数
pow2 2 的幂 log 自然对数
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