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麻省理工大学公开课MIT OpenCourseWarehttp://ocw.mit.edu
18.06 线性代数 Linear Algebra
第一单元
A
x=b 和四个子空间
Unit 1
A
x=b & the Four Subspaces
第 01 讲 行图像和列图像
第 02 讲 矩阵消元
第 03 讲 矩阵的乘法和逆矩阵
第 04 讲 矩阵的 LU 分解
第 05 讲 转置、置换和空间
第 06 讲 列空间和零空间
第07讲 求解
A
x=0：主变量，特解
第08讲 求解
A
x=b：可解性与解的结构
第 09 讲 线性相关性、基、维数
第 10 讲 四个基本子空间
第 11 讲 矩阵空间、秩 1 矩阵和小世界图
第 12 讲 图和网络
第 13 讲 复习（一）
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麻省理工大学公开课MIT OpenCourseWarehttp://ocw.mit.edu
18.06 线性代数 Linear Algebra
红色字体是我扯淡的部分，谢谢观赏……
在漫长的求学过程中，总有那么几本教材最后是以“天书”的形态永久停留在
我们的记忆当中，而数学课本成为“天书”的概率显然远高于其它科目。各大高校
都流传着类似于“实变函数学十遍，随机过程随机过”的革命口号。
在众多凶名在外的同僚映衬下，“线性代数”显得那么普通，但我想说它应该是
理工科高等教育基础课中最被低估的一门，恐怕没有之一。
我念书的时候，线性代数是从行列式讲起的，现在想来这是有点莫名其妙的事
情。一上来就接触行列式，无疑会把它当成一种运算，等第二章立刻又接触到矩阵
代数的时候，有些同学就懵 B 了。
后来大概是认识到了行列式已经变得没有从前那般重要了，大家已经很少用行
列式来判定矩阵是否可逆，或者用代数余子式来求取逆矩阵 balabala，于是师弟跟
我说线代教材已经改了，现在是从线性空间学起，但我拿过来一翻还是一堆定理开
路……颇有一种似曾相识的坑爹感，这跟微积分从实数集什么上界上确界开始讲起，
基本属于一个路数。所以说天朝在数学教育上一直秉持的理念就是希望你能夯（zhi）
实（nan）基（er）础（tui）。
再看看大牛 Gilbert Strang 是怎么教的，他首先说了一个我上完线代好几年才
明白的事情，就是线代这门课的基础作用是教你解线性方程。他从列图像引入对于
矩阵和线性相关性的理解，而将矩阵运算的核心定位于对“行”或“列”进行独立
操作。在第一单元，主要强调高斯消元法的意义以及矩阵的四个子空间的概念（如
他所言当你对一个矩阵不知该如何是好的时候，那就消它吧）。第二单元主要介绍正
交、行列式和特征值，当我们从矩阵开始进入课程，而将行列式的值当成是矩阵的
一种性质时，思维会顺畅许多。第三单元介绍正定矩阵等概念以及线性代数在各种
领域的应用。他所做的一切都是具象化每一种数学操作，在讲解中让你体会到每一
部分内容相对于线代核心所处的位置。
如果读了 GS 老先生的书你就会发现它与微分方程、傅里叶变换、工程数值计
算等等工科数学之间有着紧密的联系，特别是 Matlab 使得这些联系愈加紧密，并
体现在“应用”的诸多方面。GS 关于线代有两本著作，其中“Introduction to Linear
Algebra”就是 MIT 本科线代课的教材，还有一本是“Linear Algebra and Its
Applications”也出到第四版了，相比而言前者更基础。GS 写作教材都用最简单直
接的英语，甚至尽量避免使用复杂句（这点比科技文献强多了），在理解上比之其他
外文教材容易很多。这两本书也都有中文版就是不好找，前者只有台湾天下文化在
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2005 年出了繁体翻译版，译名为《線性代數的世界》，后者是 90 年由南开大学出
了中文版《线性代数及其应用》，译者侯自新，我所见的电子版应该是从超星流出来
的。这两年一直风闻要出 G 的中文书了，不知道会是哪一本。此外，超星还有一本
83 年的译本《有限元法分析》，应该也是当年从俄文版本弄过来的，一般人我不告
诉他。
附 G 老先生的主页：http://math.mit.edu/~gs/
douTintin
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第 01 讲 行图像和列图像
Row picture & Column picture
线性方程的几何图像 The geometry of linear equations
线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组
32
02
yx
yx
写成矩阵形式就是
3
0
21-
1-2
y
x
其中
A
=
21-
1-2
被称为系数矩阵（coefficient matrix）。
未知数向量通常记为 x=
y
x
而等号右侧的向量记为 b。线性方程组简记为
A
x=b。
行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述，每个
方程在平面上的图像为一条直线。找到
符合方程的两个数组，就可以确定出
x-y 平面上的两个点，连接两点可以画
出该方程所代表的直线。两直线交点即
为方程组的解 x=1,y=2。
列图像 Column Picture
在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向
量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。
5
3
0
2
1
1
2
yx
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和
y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。
从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的 x 和 y，使得两者分别数乘对应的列向
量之后相加得到向量
3
0
。其几何图像如下图。
蓝色为向量
1-
2
；
红色为向量
2
1-
；
可以看到当蓝色的向量乘以 1 与红色的
向量乘以 2（红色虚线）后做加法（首尾
相接）就可以得到绿色的向量 b=
3
0
，
由此可得到方程的解 x=1,y=2。
想象一下如果任意取 x,y，则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上两个列
向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。
D.C.Lay 的《线性代数及其应用》中，绘制向量
1
1
1
v
和
2
1
2
v
的线性
组合充满整个平面的图像，节点处为向量的整数倍线性组合。
这本书也是难得的好书，作者喜欢利用几何图像来帮助读者理解线性代数中的
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