超详细MIT线性代数公开课笔记完整版.pdf

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超详细MIT线性代数公开课笔记完整版,非常好的学习线代讲义笔记
概念,英文版出到第5版了,华章出过中译本。(是不是觉得上面那个图片有点斜, 是斜线造成的错觉呦!) 将以上讨论扩展到三元。图不好弄,所以用了GS书里的另一个方程,没有用 视频中的那个!!!这样方程和配图是吻合的。 +2 i+ 123x 2x+5y+2z 4 矩阵形式|252 6 方程的行图像比较复杂,每一个方程都是三维空间内的一个平面,方程组的解 为三个平面的交点。 Z℃+5y+2z=4 line l L Swiuiiun 0 y plane x+2y+32=6 3rd plane 6x-3y+3=2 [0,0,0)is not on these planes 画图真不是GS的长项,在视频里画的就比较shi,他自己也承认了。在课本里 他用两个面相交于一条直线画了一个图,然后让这条直线和第三个平面相交画了第 个图。同样的事, D. C Lay张图分分钟搞定 方程组列图像为x2+y5+z2=4 2= column 1 5= column 2 2 times column 3 is b= 如果改变等号右侧的b的数值,那么对于行图像而言三个平面都改变了,而对 于列图像而言,三个向量并没有发生变化,只是需要寻找一个新的组合。 那么问题来了,是否对于所有的b,方程Aκ=b都有解? 从列图像上看,问题转化为“列向量的线性组合是否覆整个三维空间? 反例:若三个向量在同一平面内—比如“列3”恰好等于“列1”加“列2 而若b不在该平面内,则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量b。此时 矩阵A为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵A不可逆条件下,不是所有的b都能令 方程Ax=b有解。 对n维情形则是,n个列向量如果相互独立—“线性无关”,则方程组有解。 否则这n个列向量起不到n个的作用,其线性组合无法充满n维空间,方程组未必 有解。 从行图像的角度来看,三元方程组是否有解意味着什么?当方程所代表的三个 平面相交于一点时方程有唯一解;三个平面中至少两个平行则方程无解;平面的两 两交线互相平行方程也无解;三个平面交于一条直线则方程有无穷多解 都是示意图,来看看GS和Lay的作图差异有多大吧… two parallel planes uo InTersecton line of intersection all planes parallel Three planes intersectin Three planes intersecting Three planes with no Three planes with na in a lin In a point Intersection Intersection 矩阵与向量的乘法 列图像:是矩阵A列向量的线性组合 也可以通过将矩阵A的行向量和x向量进行点积来计算 1×2+2×5 1321×1+2×3 第02讲矩阵消元 Elimination with matrices 消元法 Method of elimination 消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下,只要 是矩阵A可逆,均可以通过消元法求得Ax=b的解 此处给出的线性方程组为 A=|381b=12 04 高斯消元法( Gauss elimination)就是通过对方程组中的某两个方程进行适当 的数乘和加(jan)和(fa),以达到将某一未知数系数变为零,从而削减未知数个 数的目的。 我们将矩阵左上角的1称之为“主元"( the first pivot),第一步要通过消元 将第一列中除了主元之外的数字均变化为0。操作方法就是用之后的每一行减去第 行的适当倍数此例中第二行应减去第一行的3倍。之后应对第三行做类似操作, 本例中三行第一列数字已经为0,故不用进行操作。 21 21 A=381 (2,1) 3,2) →U=0 04 041 00 处在第二行第二列的主元二为2,因此用第三行减去第二行的两倍进行消元, 得到第三个主元为5 矩阵A为可逆矩阵,消元结束后得到上三角阵U( Uppertriangular matrix), 其左侧下半部分的元素均为0,而主元1,25分列在U的对角线上。主元之积即行 列式的值。 需要说明的是主元不能为0如果恰好消元至某行0出现在了主元的位置上, 应当通过与下方一行进行“行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果0出现 在了主元位置上,并且下方没有对等位置为非0数字的行,则消元终止,并证明矩 阵A为不可逆矩阵,且线性方程组没有唯一解。 例如消成这样0* 回代 Back-Substitution 做方程的高斯消元时,需要对等式右侧的b做同样的乘法和加减法。手工计算 时比较有效率的方法是应用"增广矩阵"(叫 augmented matrix),将b插入矩阵A 之后形成最后一列,在消元过程中带着b一起操作。( Matlab是算完系数矩阵再处 理b的。) 38112→>02 26 041 005 此时我们将原方程A=b转化为了新的方程W=c,其中c=6 10 从最后一行得到z=-2,依次回代可以得到y=1,和x=2 以上高斯消元法的内容基本是回忆求解线性方程的步骤,是我们很熟悉的东西。 在线性代数中比较重要的就是将之前所说的“第二行减去第一行的3倍”这种操作 条例变为矩阵化的数学语言。 消元矩阵 Elimination matrices 矩阵运算的核心内容就是对“行”或者“列”进行独立操作。 如前一节课“列图像”部分所言,系数矩阵乘以未知数向量,相当于对系数矩 阵的列向量进行线性组合。 例如幸 3*+4*+5 on. com 列1列2列3 与之相对称,矩阵左乘行向量则是对矩阵的行向量进行线性组合。 *一*— 行1 例如 2]***-2[--1= —咔一咔 行2 7[*一*一米 行3 我学这部分的时候,列向量的线性组合非常容易就接受了,左乘行向量这个总 觉得很别扭,偏偏行向量在下面介绍消元矩阵时比駮较重要。后来想想觉得“列″操 作就像是把向量开进矩阵,而“行操作”这个就像把向量倒车进入矩阵(如图中箭 头所示λ-_-!虽然挺扯淡的,但是我反正突然就觉得习惯了。 矩阵消元的第一步是通过左乘矩阵E来实现原矩阵A的第二行减去第一行的 3倍这一过程。E的第二行使矩阵A的行向量进行前述的线性组合,而其它两行 为了保持与原矩阵相同,采用同阶单位阵的行向量。左乘的这个矩阵为“初等矩 阵"( Elementary Matrix),因此记做£。我以为是消元矩阵,所以记做E呢。因 为所乘行向量的倍数-3出现在E矩阵的第二行第一列,因此将之标注为21。完成 操作后矩阵变为E2A。 第一行:[1001381=[121 041 第三行:[001]881=[041 3[121] 关键第二行:[310]381=+1881=D022 04 0[041 10012 do 310381 02-2 00104 041 E A EzI 豆丁 矩阵消元的第二步是完成矩阵EA的第三行减去第二行的2倍通过左乘矩阵 E2来实现这一过程。 10012 01002-2 02-2 om 0-2 04 E E2lA 32(221 3x3矩阵的消元本来应该分三步完成最终得到E3EE小)本例中Ex=r, 所以结果变为EE4)=U,因为矩阵运算符合结合律,也可写作(E2E2)A=L 可以记作EA=U。 方程A=b的解也满足方程珈=EAx=郾=,因此我们将问题转化为L=c 置换矩阵 Permutation 左乘置换矩阵可以完成原矩阵的行变换,右乘置换矩阵则为列变换。例如 01 00 b 对于三阶矩阵,010def=def 008.h 构造尸矩阵是通过对I矩阵进行“行交换”来实现的。 左右乘效果不同也展示了矩阵运算不符合交换律的性质。 逆矩阵 Inverse 这里主要讨论消元矩阵的逆矩阵。消元矩阵之逆矩阵的实施效果就是抵消原矩 阵的消元操作。消元矩阵实现了对原矩阵A的操作,使第二行行向量B38,1]减掉了 第一行[1,2,1]的3倍变为[0,2,2],则逆向操作就应该是把现在的第二行行向量 0,2,-2]加上第一行[1,2,1的3倍,从而变回原来的第二行[38,1]。 100 100 所以对于E2=-310,有Ex1=310 00 1001100100 满足Ex1E21=31-0-310=010 001 00 L00 豆丁 www.docin.com 11 第03讲矩阵的乘法和逆矩阵 Multiplication inverse matrices 矩阵乘法 Matrix multiplication 我们通过四种方法讨论如何使矩阵A与B相乘得到短阵C其中A为mxn(m 行n列)矩阵,而B为nxp矩阵,则C为mxp矩阵,记G为矩阵C中第i行第j 列的元素。 1标准方法(行乘以列) 矩阵乘法的标准计算方法是通过矩阵A第i行的行向量和矩阵B第j列的列向 量点积得到cj Ci=2aikbk=anb, +a;2b2;+a,3b, 举例 b,a 第三行 第b2 串 AB=a 列 C 丁 矩阵A 矩阵B 矩阵C mxn通 n×p mxp om 34=rows.c014 a3 bi4=a3b4+a3b, 配=l 所谓标准方法就是矩阵乘法的运算规则,下面扯几句矩阵代数运算的淡。念书 的时候,学到矩阵代数,同桌问我:“矩阵运算怎么这么奇怪,只有同样型号的矩阵 (指同为m×n)可以做加法,但是不同型号的矩阵却可以做乘法去,话说这不同型号 的矩阵为啥要做这种复杂的乘法?数乘一个矩阵为啥其中每一个元素都要乘以这个 数,而行列式则不是?”我后来找到了AD亚历山大洛夫编著的《数学:它的内容, 方法和意义》第三卷中找到了答案。 先补一下矩阵的加法和数乘规则: 12 Addition A+B 30+-31=101 230 60 Multiplication 2A 12 本质上矩阵的代数运算就是线性方程组的运算: y1=a1x1+…+a1nx ym=amn1X1+…,+ CY 可以简写做矩阵形式y=Aκ A为mxn矩阵 IY z=Bx m=bx+…+bxn B为mxn矩阵 x1=(41+b1)x+…+(a1n+b1n) y+z=(A+Bx所以矩阵加法运算规则就 m+zm=*bnx1+…+(am+bn)x只能形状相同的矩阵进行加和 1 ay= Ax CyR=dam+.+aaon 数乘要在矩阵每个元素上乘以α 而矩阵乘法可以视为给线性方程组做变量替换 y1=c1x1+…+anx y1 +…+ y1+…+dbmy y=AxA为mxn矩阵 W=DD为kxm矩阵 将左侧y至ym的表达式代入右侧的方程,则有 W=41(a1x1+…+a1nxn)+…+d1n(an1x1+.+amnx) W=d(a1x1+…+anxn)+…+dm(am1x1+…+anmx) 重新整理一下 W1=(d1a1+…+ d a1)x1+…+(d141n+…+dlnm2)xn=C1+…+C1nxn w=(dk1a1+…+ d,m a1)x+…+(dk11n+…+dnam)xn=C1x+…+Cmxn W=Dy=DAx=Cx c=DA为kxn矩阵,从上式可得到c的公式,即矩阵的乘法运算规则,可以 看到这是变量代换的结果。所以矩阵乘法中两矩阵形状可以不同,但要求左侧矩阵 的列数要等于右侧矩阵的行数,即w=Dy中y的分量个数要等于y=Ax中y的分 量数,不如此则线性方程的变量代换无法进行。 矩阵乘法符合结合律、分配率,但是不遵守交换律,这些通常通过定义加以证 13

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