超详细MIT线性代数公开课笔记

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麻省理工大学公开课MIT 18.06 线性代数Linear Algebra 超详细MIT线性代数公开课笔记(带书签)共34讲笔记.
2005年出了繁体翻译版,译名为《線性代數的世界》,后者是90年由南开大学出 了中文版《线性代数及其应用》,译者侯自新,我所见的电子版应该是从超星流出来 的。这两年一直风闻要出G的中文书了,不知道会是哪一本。此外,超星还有一本 83年的译本《有限元法分析》,应该也是当年从俄文版本弄过来的,一般人我不告 诉他 附G老先生的主页:http://math.mitedu/gs/ dou tinti 第01讲行图像和列图像 Row picture Column picture 线性方程的几何图像 The geometry of linear equations 线性代数的基本问题就是解n元一次方程组。例如:二元一次方程组 x-y 0 x+2y=3 写成矩阵形式就是 2 其中A= 被称为系数矩阵( coefficient matrix o 未知数向量通常记为x= 而等号右侧的向量记为b。线性方程组简记为A=b 行图像 Row Picture 图像遵从解析几何的描述,每个 方程在平面上的图像为一条直线。找到 2?/=3 符合方程的两个数组,就可以确定出 -9 =0 -y平面上的两个点,连接两点可以画 出该方程所代表的直线。两直线交点即 为方程组的解Ⅹ=1y=2。 列图像 Column picture 在列图像中,我们将系数矩阵写成列向量的形式,则求解原方程变为寻找列向 量的线性组合( linear combination)来构成向量b。 向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量c和d以及标量ⅹ和 y,我们将ⅹ+yd称之为c和d的一个线性组合 从几何上讲,我们是寻找满足如下要求的x和y,使得两者分别数乘对应的列向 量之后相加得到向量。其几何图像如下图 蓝色为向量 红色为向量 3 可以看到当蓝色的向量乘以1与红色的 向量乘以2(红色虚线)后做加法(首尾 相接)就可以得到绿色的向量b 由此可得到方程的解x=1y=2。 想象一下如果任意取xy,则得到的线性组合又是什么?其结果就是以上两个列 向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面 -Zv,+v 以 D. C Lay的《线性代数及其应用》中,绘制向量v1= 和 的线性 组合充满整个平面的图像,节点处为向量的整数倍线性组合。 这本书也是难得的好书,作者喜欢利用几何图像来帮助读者理解线性代数中的 概念,英文版出到第5版了,华章出过中译本。(是不是觉得上面那个图片有点斜 是斜线造成的错觉呦! 将以上讨论扩展到三元。图不好弄,所以用了GS书里的另一个方程,没有用 视频中的那个!!!这样方程和配图是吻合的。 3Z X 2x+5y+2z 4 矩阵形式|252y 方程的行图像比较复杂,每一个方程都是三维空间内的一个平面,方程组的解 为三个平面的交点 2x+5y÷2z=4 line L Solutions L plane x +2y+32=6 /3rd plane 6x-3y+2=2 r.(0, 0, 0)is not on these planes 画图真不是GS的长项,在视频里画的就比较shi,他自己也承认了。在课本里 他用两个面相交于一条直线画了一个图,然后让这条直线和第三个平面相交画了第 二个图。同样的事, D. C Lay一张图分分钟搞定。 方程组列图像为x2+y5+22|=4 column 1 5= column 2 6 2 times column 3 is b= 4 如果改变等号右侧的b的数值,那么对于行图像而言三个平面都改变了,而对 于列图像而言,三个向量并没有发生变化,只是需要寻找一个新的组合。 那么问题来了,是否对于所有的b,方程Ax=b都有解? 从列图像上看,问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间?"” 反例:若三个向量在同一平面内——比如“列3″恰好等于“列1”加“列2”, 而若b不在该平面内,则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量b。此时 矩阵A为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵A不可逆条件下,不是所有的b都能令 方程A=b有解 对n维情形则是,n个列向量如果相互独立——“线性无关”,则方程组有解。 否则这n个列向量起不到n个的作用,其线性组合无法充满n维空间,方程组未必 有解。 从行图像的角度来看,三元方程组是否有解意味着什么?当方程所代表的三个 平面相交于一点时方程有唯一解;三个平面中至少两个平行则方程无解;平面的两 两交线互相平行方程也无解;三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。 都是示意图,来看看GS和Lay的作图差异有多大吧 two parallcl plancs no intersection line of intersection all plancs parallcl Three planes intersecting Three planes intersecting Three planes with no Three planes with no In a line In a poll intersection intersection 矩阵与向量的乘法 列图像:A是矩阵A列向量的线性组合: 13‖2 也可以通过将矩阵A的行向量和x向量进行点积来计算 2+2×5 12 第02讲矩阵消元 Elimination with matrices 消元法 Method of elimination 消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下,只要 是矩阵A可逆,均可以通过消元法求得A=b的解。 此处给出的线性方程组为 A=1381b=12 041 高斯消元法( Gauss elimination)就是通过对方程组中的某两个方程进行适当 的数乘和加(jian)和(fa),以达到将某一未知数系数变为零,从而削减未知数个 数的目的 我们将矩阵左上角的1称之为“主元—"〔 the first piⅳot),第一步要通过消元 将第一列中除了主元之外的数字均变化为0。操作方法就是用之后的每一行减去第 行的适当倍数此例中第二行应减去第一行的3倍。之后应对第三行做类似操作 本例中三行第一列数字已经为0,故不用进行操作。 2 21 21 A=38 B)0区2-82=0区 04 041 00圆 处在第二行第二列的主元二为2,因此用第三行减去第二行的两倍进行消元, 得到第三个主元为5。 矩阵A为可逆矩阵,消元结束后得到上三角阵U( Uppertriangular matrix), 其左侧下半部分的元素均为0,而主元1,2,5分列在U的对角线上。主元之积即行 列式的值。 需要说明的是,主元不能为0如果恰好消元至某行出现在了主元的位置上 应当通过与下方一行进行“行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果0出现 在了主元位置上,并且下方没有对等位置为非0数字的行,则消元终止,并证明矩 阵A为不可逆矩阵,且线性方程组没有唯一解。 水半半 例如消成这样0*半 000 回代 Back-Substitution 8 做方程的高斯消元时,需要对等式右侧的b做同样的乘法和加减法。手工计算 时比较有效率的方法是应用“增广矩阵"( augmented matrⅸx),将b插入矩阵A 之后形成最后一列,在消元过程中带着b一起操作。( Matlab是算完系数矩阵再处 理b的。) 1212 38112 224 26 02-26 0412 0 005-10 此时我们将原方程Ax=b转化为了新的方程W=c,其中c=6。 10 从最后一行得到z=2,依次回代可以得到y=1和=2 以上高斯消元法的内容基本是回忆求解线性方程的步骤,是我们很熟悉的东西。 在线性代数中比较重要的就是将之前所说的“第二行减去第一行的3倍″这种操作 条例变为矩阵化的数学语言。 消元矩阵 Elimination matrices 矩阵运算的核心内容就是对“行”或者“列”进行独立操作。 如前一节课“列图像”部分所言,系数矩阵乘以未知数向量,相当于对系数矩 阵的列向量进行线性组合。 例如**平4=3*+4米+5米=⑧ 列1列2列 与之相对称,矩阵左乘行向量则是对矩阵的行向量进行线性组合。 1[米* 行 例如12小***=2[一*]=[ 行 7[ 行3 我学这部分的时候,列向量的线性组合非常容易就接受了,左乘行向量这个总 觉得很别扭,偏偏行向量在下面介绍消元矩阵时比较重要。后来想想觉得“列″操 作就像是把向量开进矩阵,而“行操作”这个就像把向量倒车进入矩阵(如图中箭 头所示)-!虽然挺扯淡的,但是我反正突然就觉得习惯了。 矩阵消元的第一步是通过左乘矩阵£来实现原矩阵A的第二行减去第一行的 3倍这一过程。E的第二行使矩阵A的行向量进行前述的线性组合,而其它两行 为了保持与原矩阵相同,采用同阶单位阵I的行向量。左乘的这个矩阵为“初等矩 阵"( Elementary Matriⅸ),因此记做E。我以为是消元矩阵,所以记做E呢。因 为所乘行向量的倍数-3出现在E矩阵的第二行第一列,因此将之标注为21。完成 操作后矩阵变为EzA。 第行:[00]381|=[ 04 121 第三行:「00 381 041 关键第二行:[310]381|=+1381=[02-2 04 0[04 04 E 27 EiA 矩阵消元的第二步是完成矩阵E2A的第三行减去第二行的2倍通过左乘矩阵 E32来实现这一过程。 00‖12 12 0100 0 E3xE21A) 3×3矩阵的消元本来应该分三步完成最终得到EE(EA4)本例中Er=I, 所以结果变为E3E2A)=U,因为矩阵运算符合结合律,也可写作(E32Ez)A=U 可以记作EA=U。 方程Ax=b的解也满足方程Wκ=EAκ=郾=c,因此我们将问题转化为Uκ=c 置换矩阵 Permutation 左乘置换矩阵可以完成原矩阵的行变换,右乘置换矩阵则为列变换。例如

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