北航数值分析计算大作业一

### 北航数值分析计算大作业一：幂法与反幂法求特征值 #### 算法设计与实现 本大作业的核心在于通过幂法（Power Method）和反幂法（Inverse Power Method）来求解矩阵的特征值，特别关注于矩阵的按模最大与最小特征值的求解。在数值分析领域，特征值问题是非常关键的一环，特别是在解决线性代数问题、稳定性分析以及优化问题中扮演着核心角色。 #### 功率方法（幂法） **幂法**是一种迭代算法，用于寻找矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量。在本作业中，算法的设计首先涉及将带状线性矩阵A[501][501]转换成一个更为紧凑的矩阵c[5][501]，这一过程是基于矩阵的特殊结构，旨在减少存储需求和提高计算效率。一旦矩阵被重构成c的形式，幂法迭代开始执行： 1. **初始化向量**：选择一个非零向量作为迭代的起点。 2. **矩阵乘法**：计算A与当前向量的乘积。 3. **归一化**：将得到的向量进行归一化处理，确保其长度为1。 4. **收敛检查**：检查向量的改变是否小于预设的阈值ε，如果满足，则迭代停止；否则，重复步骤2和3。 通过上述步骤，幂法能逐渐逼近矩阵的按模最大特征值λmax。 #### 反幂法 **反幂法**是对幂法的一种扩展，主要用于求解矩阵的按模最小特征值。其基本思想是在求解之前，对矩阵A进行如下变换： \[A' = (A - \mu I)^{-1}\] 其中，μ是靠近目标特征值的一个估计值，I是单位矩阵。然后应用幂法求解变换后的矩阵A'的按模最大特征值，这个特征值实际上对应于原矩阵A的按模最小特征值。 在作业中，为了求解矩阵A的按模最小特征值λmin，首先需要通过幂法确定矩阵的按模最大特征值λmax，然后通过对矩阵进行λmax平移并使用反幂法，找到平移后矩阵的按模最小特征值λmin'，最后通过λmin = λmax + λmin'得出结果。 #### 矩阵行列式的计算 除了特征值问题，作业还涉及了矩阵行列式的计算。这一步骤通过LU分解完成，即矩阵A可以表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。由于上三角矩阵U的行列式等于其对角线元素的乘积，因此计算矩阵A的行列式就简化为计算U的对角线元素的乘积。 #### 源代码解析 提供的源代码中包含了幂法、反幂法的实现以及矩阵行列式的计算。代码中定义了一系列函数，如`fuzhi()`用于矩阵赋值，`LUDet()`用于通过LU分解求解矩阵行列式，`mifa()`和`fmifa()`分别用于幂法和反幂法求解特征值。此外，代码还展示了如何计算矩阵的条件数，这是一项衡量矩阵可逆性和数值稳定性的重要指标，对于理解和解决实际问题中的线性系统至关重要。 整个作业不仅体现了数值分析中关键算法的实现，也强调了对矩阵性质深刻理解的重要性，尤其是在高效求解特征值问题上的应用。