北航数值分析大作业二

【数值分析】是一门研究如何使用近似方法解决数学问题的学科，特别是在处理连续系统、微分方程和线性代数等领域。本作业主要涉及的是矩阵的特征值计算，这是数值分析中的一个重要主题，因为它在众多科学和工程领域中有广泛应用，如控制理论、信号处理和量子力学等。 在和中提到的大作业二，核心任务是通过数值方法寻找给定矩阵的特征值和特征向量。具体来说，作业采用了以下步骤： 1. **拟上三角化**：为了简化计算，首先对矩阵进行拟上三角化处理，这通常是通过实施高斯-豪森伯格（Hessenberg）变换实现的。这个过程使得矩阵接近于上三角形式，从而减少后续计算的复杂度。 2. **QR分解**：接着，对拟上三角化的矩阵进行QR分解。QR分解是一种将矩阵转化为正交矩阵Q和上三角矩阵R的组合的方法，它在求解线性方程组和计算特征值问题中非常有用。在本作业中，直接调用了自编的QR分解函数，而不是结合矩阵M的QR分解和迭代过程。 3. **双步位移的QR方法**：在迭代求解特征值的过程中，使用了带双步位移的QR方法。这种方法通过改变位移量以加速收敛，减少迭代次数，提高计算效率。 4. **特征值求解**：迭代结束后，可以得到特征值。对于实特征值，其对应的特征向量可以通过列主元高斯消去法求解。因为当特征值为实数时，其特征空间的秩为n-1，意味着特征向量不是唯一的，所以通常选择一个特定的条件，如让某个分量为1，来唯一确定一个特征向量。 5. **源程序**：提供的源代码展示了整个计算过程。`Init`函数用于初始化矩阵，`Hessenberg`函数执行拟上三角化，`QR_decomposition`进行QR分解，`DblQRdec`是双步位移的QR迭代，而`eigenvector`则用于计算特征向量。结果被写入到`result.txt`文件中。 通过以上步骤，作业完成了对给定矩阵的特征值和特征向量的数值计算。这个过程展示了数值分析中特征值问题的常见解决方案，以及如何通过编程实现这些算法。