LMI 介绍 中文版
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2010-05-12
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LMI 工具箱介绍
线性矩阵不等式（LMI）工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件
包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式，使得各种线性矩阵不等式能够以自然块
矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定，就可以通过调用适当的线性矩
阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。
LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具，它们主要用
于：
z 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式；
z 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息；
z 修改现有的线性矩阵不等式系统；
z 求解三个一般的线性矩阵不等式问题；
z 验证结果。
本附录将详细介绍 LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。
A.1 线性矩阵不等式及相关术语
一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式：
0<+++=
NN
xx LLLxL "
110
)(
(1)
其中： 是给定的对称常数矩阵， 是未知变量，称为决策变量，
N
LLL ,,,
10
"
N
xx ,,
1
"
∈=
T
1
],,[
N
xx "x
N
R
是由决策变量构成的向量，称为决策向量。
尽管表达式（1）是线性矩阵不等式的一个一般表示式，但在大多数实际应用中，线
性矩阵不等式常常不是以一般表示式（1）的形式出现，而是具有以下形式：
),,(),,(
11 nn
XXRXXL "" <
其中的 和 是矩阵变量 的仿射函数，通过适当的代数运算，上式可以写
成线性矩阵不等式的一般表示式（1）的形式。例如，在系统稳定性问题中经常遇到的
Lyapunov 矩阵不等式
)(⋅L )(⋅R
n
XX ,,
1
"
0<+ XAXA
T
(2)
也是一个线性矩阵不等式，其中的 是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵
为例，将矩阵不等式（2）写成一般表示式（1）的形式。针对二阶矩阵不
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
20
21
A
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zzuxiong
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