离散数学中的群、环和域是抽象代数的核心概念，它们是研究数学结构和运算规律的基础工具。在第7章“群、环和域”中，我们将深入探讨这些概念。
我们来理解“半群”。半群是一个非空集合S与定义在S上的二元运算*的组合，要求*满足结合律，即对于所有S中的元素a, b, c，都有(a * b) * c = a * (b * c)。常见的例子包括整数集上的加法和乘法，以及集合的并集和交集运算。若在半群中，运算*还满足交换律，那么半群就被称为可换半群。子半群是指在半群S中，由S的一个子集B构成的，且运算*在B上封闭的半群。
接着，我们引入了“独异点”，也就是含幺半群。独异点是在半群的基础上，增加了一个单位元e，它满足对任何元素a∈S，都有a * e = a = e * a。单位元的存在使得半群的运算更加具有实用性，因为它提供了运算的恒等元素。
群是独异点的进一步扩展，要求其运算还满足逆元性质，即对于每个元素a在群中都存在一个元素b，使得a * b = e = b * a，这个b称为a的逆元。群的典型例子是整数集上的加法群和乘法群，其中每个元素都有它的逆元（如加法群中，-a是a的逆元；乘法群中，1/a是a的逆元，前提是a不为0）。
阿贝尔群是特殊的群，它的运算不仅满足结合律和逆元性质，还满足交换律。置换群是群的一个重要类型，它的元素是对某个集合进行排列的置换操作。
接下来，我们讨论了子群的概念，它是群G的一个子集H，满足H与G有相同的运算，并且H本身是一个群。陪集和拉格朗日定理是群论中的重要工具，它们帮助我们理解和分析群的结构。正规子群是满足特定条件的子群，它在群的同态下保持不变，这在研究群的同构和商群时至关重要。
环是另一种代数结构，它包含两个运算：一个是加法，满足群的性质；另一个是乘法，可能不满足交换律。环的例子包括整数环和复数环。域是环的特殊形式，除了加法和乘法外，乘法还需满足除法（除了零元外的元素都有逆元）。例如，实数域和复数域都是典型的域。
这一章的内容深入浅出地介绍了抽象代数的基本概念，这些概念不仅在理论数学中占有重要地位，也在计算机科学、物理学和其他科学领域中有广泛应用。通过学习群、环和域，我们可以更好地理解和处理各种数学结构和运算。
