### 数学物理方程答案 谷超豪 第二版
#### 第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
本章节主要讲述了二阶线性偏微分方程的基本理论，包括方程类型的判断以及如何将特定类型的方程化为标准形式。以下是对本章节几个关键知识点的详细解释。
### 二阶方程的分类
#### 1. 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变
**证明**：
给定两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为：
\[a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + b_1u_x + b_2u_y + cu = f(x,y)\]
其中 \(a_{ij}\)、\(b_i\) 和 \(c\) 是系数函数，而 \(f(x,y)\) 是已知函数。通过可逆变换：
\[\begin{cases}
\xi = \xi(x,y) \\
\eta = \eta(x,y)
\end{cases}\]
且该变换的雅可比行列式 \(D(\xi,\eta) \neq 0\)，可以将原方程转化为新坐标系下的方程：
\[a'_{11}u_{\xi\xi} + 2a'_{12}u_{\xi\eta} + a'_{22}u_{\eta\eta} + b'_1u_{\xi} + b'_2u_{\eta} + c'u = f(\xi,\eta)\]
其中系数 \(a'_{ij}\) 可以表示为原系数函数 \(a_{ij}\) 的线性组合，具体形式略。关键在于证明方程的判别式 \(\Delta = a_{11}a_{22} - a_{12}^2\) 在变换前后保持不变。
由变换公式可知：
\[\begin{cases}
a'_{11} = a_{11}\xi_x^2 + 2a_{12}\xi_x\xi_y + a_{22}\xi_y^2 \\
a'_{22} = a_{11}\eta_x^2 + 2a_{12}\eta_x\eta_y + a_{22}\eta_y^2 \\
a'_{12} = a_{11}\xi_x\eta_x + a_{12}(\xi_x\eta_y + \xi_y\eta_x) + a_{22}\xi_y\eta_y
\end{cases}\]
因此，变换后的判别式 \(\Delta' = a'_{11}a'_{22} - (a'_{12})^2\) 可以简化为：
\[\Delta' = (a_{11}a_{22} - a_{12}^2) D^2 = \Delta D^2\]
由于 \(D \neq 0\)，因此 \(\Delta'\) 和 \(\Delta\) 符号相同，即方程类型不变。
#### 2. 方程类型的判定
接下来，根据上述理论，判定给出的几个方程的类型：
- **(1) 方程 \(u_{xx} - u_{yy} = 0\)**
判别式 \(\Delta = 1 \cdot (-1) - 0^2 = -1\)，在除去坐标轴外的所有区域均为双曲型；在坐标轴上为抛物型。
- **(2) 方程 \(u_{xx} + xu_{xy} + u_{yy} = 0\)**
判别式 \(\Delta = 1 \cdot 1 - (\frac{x}{2})^2 = 1 - \frac{x^2}{4}\)，在直线 \(x = \pm 2\) 上为抛物型，在此直线两侧为椭圆型。
- **(3) 方程 \(u_{xx} + xyu_{xy} + u_{yy} = 0\)**
判别式 \(\Delta = 1 \cdot 1 - (\frac{xy}{2})^2 = 1 - \frac{x^2y^2}{4}\)，在坐标轴上为抛物型；在第一、第三象限内为椭圆型；在第二、第四象限内为双曲型。
- **(4) 方程 \(xu_{xx} + u_{yy} + sgn(x)u_{xy} = 0\)**
判别式 \(\Delta = x \cdot 1 - (\frac{sgn(x)}{2})^2 = x - \frac{1}{4}\)，在坐标轴上为双曲型；在第一、第三象限内为抛物型；在第二、第四象限内为双曲型。
- **(5) 方程 \(u_{xx} + 2u_{xy} + 4u_{yy} + u_{xz} + u_{zz} = 0\)**
对应二次型为 \(x_1^2 + 2x_1x_2 + 4x_2^2 + x_1x_3 + x_3^2\)，其特征值均为正实数，说明方程为双曲型。
#### 3. 化方程为标准形式
接下来，将两个方程化为标准形式：
- **(1) 方程 \(u_{xx} + 4u_{xy} + 5u_{yy} + 2u_x + yu_y = 0\)**
为了消去混合导数项，寻找适当的变换 \(\xi = ax + by + c\) 和 \(\eta = dx + ey + f\)。通过计算，可以找到一组参数使得变换后的方程不含混合导数项。具体参数选择取决于方程的系数。
- **(2) 方程 \(u_{xx} + 2u_{xy} + 2u_{yy} = 0\)**
同样地，寻找适当的线性变换以消去混合导数项。这里可以通过适当选择 \(\xi\) 和 \(\eta\) 来实现目标。具体方法是构造一个关于 \(\xi\) 和 \(\eta\) 的线性变换，并求解相应的系数。
通过以上分析，我们可以看出，对于不同类型的二阶线性偏微分方程，其分类方法和标准化过程具有一定的规律性和方法论，这对于理解和解决实际问题非常有帮助。
