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第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t)表示静止时在 x 点处的点在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程
发生的张力服从虎克定律，试证明
),( txu
满足方程
( )
=
x
u
E
xt
u
x
t
其中
为杆的密度，
E
为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为
x
与
+x
x
。现在计算这段杆在时刻
t
的相对伸长。在时刻
t
这段杆两端的
坐标分别为：
),();,( txxuxxtxux ++++
其相对伸长等于
),(
)],([)],([
txxu
x
xtxuxtxxuxx
x
+=
−+−+++
令
0→x
，取极限得在点
x
的相对伸长为
x
u
),( tx
。由虎克定律，张力
),( txT
等于
),()(),( txuxEtxT
x
=
其中
)(xE
是在点
x
的杨氏模量。
设杆的横截面面积为
),(xS
则作用在杆段
),( xxx +
两端的力分别为
x
uxSxE )()(
x
uxxSxxEtx )()();,( ++
).,( txx +
于是得运动方程
tt
uxxsx )()(
x
ESutx =),(
xxxx
xESuxx |)(|)( −+
+
利用微分中值定理，消去
x
，再令
0→x
得
tt
uxsx )()(
x
=
x
ESu(
)
若
=)(xs
常量，则得
2
2
)(
t
u
x
=
))((
x
u
xE
x
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在
lxx == ,0
两点则相应的边界条件为
.0),(,0),0( == tlutu
(2)若
lx =
为自由端，则杆在
lx =
的张力
x
u
xEtlT
= )(),(
|
lx=
等于零，因此相应的边界条件为
x
u
|
lx=
=0
同理，若
0=x
为自由端，则相应的边界条件为
x
u
∣
0
0
=
=x
(3)若
lx =
端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数
)(tv
给出，则在
lx =
端支承的伸
长为
)(),( tvtlu −
。由虎克定律有
x
u
E
∣
)](),([ tvtluk
lx
−−=
=
其中
k
为支承的刚度系数。由此得边界条件
)( u
x
u
+
∣
)(tf
lx
=
=
其中
E
k
=
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