【高中数学】函数y=A*sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用
在高中数学中，函数y=A*sin(ωx+φ)是一个非常重要的知识点，它涉及到三角函数的基本性质、图像特征以及变换规律。这个函数的图象是由振幅A、角频率ω、相位φ这三个参数共同决定的。
1. **振幅A**：表示函数的波动幅度，A>0，A越大，图像的波峰和波谷距离x轴的距离越大。
2. **角频率ω**：表示函数周期性的快慢，ω>0，ω越大，函数周期越短，即图像在x轴方向上波动得更快。
3. **相位φ**：决定了函数图像的初始位置，φ决定了函数图像相对于标准正弦函数的左右平移。
**五点法**是绘制函数y=A*sin(ωx+φ)图像的关键方法：
- **定点**：在函数的一个周期内找到五个关键点，包括最高点、最低点以及与x轴的两个交点（零点）。
- **作图**：在直角坐标系中，根据这些关键点画出平滑的曲线。
- **扩展**：将所画出的图像按周期性向两侧无限延伸，得到函数在整个实数轴上的图像。
**函数y=sin(x)的图像变换**：
- **平移**：通过改变x的值来实现图像的左右平移，如y=sin(x+a)。
- **伸缩**：通过改变x的系数来改变图像的周期，如y=sin(kx)（k为常数）。
**题型解析**：
1. 函数y=3*sin(2x)的图象左移π/6个单位长度后的解析式是y=3*sin[(2(x+π/6))]=3*sin(2x+π/3)。
2. 函数y=2*sin(x)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变，得到的函数是y=2*sin(2x)。
3. 求函数解析式时，振幅A由一个周期内图像中最高点和最低点的值决定，周期T=2π/ω，频率f=ω/2π。
**题目详解**：
1. 函数y=2*sin(3x)向左平移π/6个单位，得到y=2*sin[3(x+π/6)]=2*sin(3x+π/2)，等价于y=2*cos(3x)。
2. 函数y=cos(x/2)的图像可由y=cos(x)向左平移π/2个单位，再将横坐标缩短到原来的一半得到。
3. 图像所示函数为y=2*sin(2x+φ)，根据图像分析得出φ=π/6，因此函数解析式为y=2*sin(2x+π/6)。
**易错点纠正**：
1. y=cos(x/2)的图像可以通过将y=sin(2x)的图像向左平移π/4个单位得到。
2. 函数f(x)=sin(2x)向左平移π/4个单位得到g(x)=sin(2(x+π/4))=sin(2x+π/2)=cos(2x)，其在区间[0,π/2]上的最大值为1。
通过理解和掌握这些基本概念以及解题技巧，学生能够更好地应对高考中关于三角函数图像的题目，提高解题能力。
