专题15坐标系与参数方程是高中数学中的一个重要主题，它涉及到解析几何的基本概念和解题技巧。通过对2012年至2021年全国高考数学真题的分项详解，学生可以加深对直角坐标系、极坐标系、参数方程以及它们之间转换方法的理解和掌握。下面将从几个方面详细阐述相关知识点。
一、直角坐标系与极坐标系
直角坐标系是最常见的坐标系统，每个点的位置由两个坐标值（x，y）确定，其中x和y分别是该点到两条正交坐标轴（通常是水平的x轴和垂直的y轴）的距离。极坐标系则由极径（r）和极角（θ）来确定一个点的位置。极坐标系更适用于描述圆形轨迹或旋转对称的情况。
二、参数方程的概念
参数方程是用参数来表示变量之间关系的一种方式，它非常适合描述曲线和曲面。在二维平面上，参数方程由两个方程组成，通常形式为：
x = f(t)
y = g(t)
其中，t为参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
三、极坐标方程与直角坐标方程的转换
极坐标方程通常形式为r=f(θ)，表示与极径r和极角θ之间的关系。要将极坐标方程转换为直角坐标方程，需要使用以下转换公式：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
反之，从直角坐标转换到极坐标则是：
r = √(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)（注意x不等于0时）
四、曲线的参数方程
不同的曲线类型有不同的参数方程表达方式。例如，圆的参数方程可以写成：
x = a + r * cos(t)
y = b + r * sin(t)
其中，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径，t是参数，代表角度。
五、切线方程的求法
在直角坐标系中，给定点(x0, y0)和曲线，求过该点的曲线的切线方程。如果曲线的方程为y=f(x)，则切线的斜率为曲线在该点的导数f'(x)。因此，切线方程的一般形式为：
y - y0 = f'(x0) * (x - x0)
如果曲线的方程是参数方程形式，切线的斜率可以通过求参数方程关于参数t的导数来得到。
六、公共点的求解
对于两个曲线，要找到它们的公共点，需要解它们的方程组。这通常涉及到联立两个曲线方程（或其转换形式），然后解出满足两方程的坐标点(x, y)。
通过上述知识点的学习和掌握，学生可以更好地解决涉及坐标系与参数方程的高考数学试题。以2021年高考数学真题为例，考生需要熟悉如何把给定的普通方程转换为参数方程和极坐标方程，并且能够求解曲线的切线方程、点的轨迹方程、以及曲线之间的公共点等。例如，在给定的2021年全国高考甲卷数学（理）试题中，需要求出点P的轨迹参数方程，并判断两个曲线是否有公共点。掌握曲线与直线的斜率关系、韦达定理以及联立方程求解技巧是解这类题目的关键。
