基于曲率控制的曲面全局共形参数化

在众多计算机图形学领域的研究方向中，曲面的表示和曲面的变形「4]以及 对曲面进行参数化等问题一直是其中的热门话题。 经典几何中的光滑曲面，所含信息包括拓扑信息和几何信息以及嵌入方式 等。拓扑信息是由曲面的亏格和边界所决定的，光有拓扑信息，曲面的概念还是 抽象的;几何信息指的是定义在曲面上的度量，曲面的度量是用来计算切向量内 积的一种结构，可以为曲面指定不同的黎曼度量，根据曲面的黎曼度量，我们计 算长度，角度，面积等一些几何量，可以对曲面进行量化;曲面在R3中的嵌入方 式是曲面座落在空间中的一种方式，不同嵌入方式的曲面可以有相同的拓扑结 构和黎曼度量。在曲面上定义了黎曼度量之后，我们就可以定义曲面的Gauss曲 率，Gauss曲率是用于衡量某点处的局部邻域与该点处的切平面之间的差异程度 的。从曲面的Gauss曲率，我们可以直观地看出曲面在空间中的弯曲程度。 在计算机图形学领域，我们所谈论的曲面一般是离散的。离散的曲面通常 是由三角网格表示的。三角网格己经成为了表示三维几何数据的有效手段。使 用三角网格表示离散曲面有如下优点:可以表示任意复杂的拓扑的表面;通过 点的位置可以很容易表示出曲面的几何信息和嵌入方式;三角网格表示获得了 工业界的支持，尤其是图形硬件加速支持。在离散曲面模型的三角网格表示中: 三角形边与边之间的连接关系表示了网格模型的拓扑结构;每条边的长度则表 示了网格的离散度量;相邻三角形面之间的二面角表示了网格在空间嵌入的方 式。同样，在三角网格模型中，我们也可以类似地定义出离散情形的Gauss曲率。 网格顶点处的离散高斯曲率，被定义成2兀和与该顶点相邻角之和的差，直观地 第1章绪论 称其为“角缺陷”。离散曲率和光滑情形一样，也必须满足拓扑要求，也就是著 名的GauSS一Bonnet公式。 在三角网格模型中离散GausS曲率的定义我们知道，曲率的大小只和顶点处 三角形的内角有关。根据余弦定理，如果给定了三角形的三条边长，我们就可以 计算出三角形的三个内角，因此，也可以计算出网格顶点处的离散Gauss曲率。 这个和光滑情形是一致的:根据曲面的度量可以计算出曲面的Gauss曲率。但是 反过来， 给定目标网格上每个顶点处的离散GansS曲率，我们是不是可以算出目标网 格上每条边的长度呢? 把上面的讨论总结一下就是:由度量可以确定出曲率，那么由曲率是否可 以确定出度量?这个问题的提出是有背景的。例如，曲面的变形过程实际上就是 不断改变曲面自身度量的一个过程，可以通过目标形状的曲率设定从而求出目 标网格的度量;曲面参数化是计算机图形学领域的重要研究对象之一，她在纹 理映射，曲面匹配，网格压缩等都方面有着应用，而曲面参数化实质上就是在设 定每个顶点处Gauss曲率为零的情况下寻找合适网格的边长。又例如，要在流形 上构造样条，我们需要在建立曲面的仿射坐标册，仿射坐标册的寻找过程就是平 面度量的生成过程。再例如，曲面光顺，也是要预先给定每个顶点处的Gauss曲 率再来确定网格的边长和在空间的嵌入方式。 我们先考虑光滑情形。把上述问题在光滑情形提出: 如果给定一个光滑曲面上满足拓扑限制的函数，能否找到一个合适的黎曼 度量，使得通过该度量计算所得的曲率就是给定的那个函数? 在光滑的情形，上面这个问题的回答是:满足条件的度量存在且在共形等 价类中唯一，而且我们还可以通过几cci曲率流这个工具来具体的把度量计算出 来。凡cci曲率流的基本思想是:从起始度量和它诱导的斑cci曲率出发，不断地共 形地改变着曲面的度量，直到最后的度量能够诱导出预先给定的目标曲率。整 个方程的求解过程利用变分原理构造的凸的能量函数，以确保解是全局存在唯 一的。而且在理论上可以证明，该方程是收敛且收敛速度是指数级的。 类似的，在离散情形，我们同样可以利用定义合理的离散形oci曲率流来解 决上面提出的问题。在二维情形，曲面的几cci曲率就是GausS曲率，因此，离散 的形cci曲率流是解决上述问题的一个好的途径。通过离散的形cci曲率流，我们