运筹学基础 单纯形法
### 运筹学基础之单纯形法详解 #### 一、单纯形法简介 单纯形法是运筹学中求解线性规划问题的一种高效算法,由美国数学家George Dantzig于1947年提出。该方法适用于解决最大化或最小化线性目标函数在一组线性不等式约束条件下的最优化问题。单纯形法的基本思想是在可行域(即满足所有约束条件的解集)中寻找最优解,并且通过一系列变换将当前解向更优的方向移动。 #### 二、单纯形法步骤解析 根据题目中的部分代码及描述,我们可以详细探讨单纯形法的具体实施步骤。 ##### 2.1 输入数据处理 首先需要输入线性规划问题的相关数据,包括变量个数、约束条件个数以及各个系数等。这些数据是构建单纯形表的基础。 - **确定变量与约束的数量**:`m`表示约束条件的个数,`n`表示决策变量的个数。 - **初始化单纯形表**:创建一个二维数组`kernel`用于存储线性规划问题的所有系数和目标函数值。 - **读取系数**:依次读入每个约束条件的系数,并对其进行必要的调整以便构造出初始单纯形表。 ##### 2.2 构造初始单纯形表 - **添加松弛变量或剩余变量**:对于小于等于型(`<=`)的约束,添加相应的松弛变量;对于大于等于型(`>=`)的约束,则添加剩余变量。这样做是为了构造出一个可行基。 - **设置目标函数**:根据目标函数的类型(最大化或最小化),设置初始单纯形表的目标函数行。如果目标是最小化,则可能需要对目标函数进行转换。 ##### 2.3 迭代过程 - **计算检验数**:计算单纯形表的检验数(即目标函数减去非基变量对应的系数与基变量检验数的乘积之和),用来判断当前解是否为最优解。 - **选择进基变量**:找到检验数中最小的负值,对应的变量作为新的进基变量。 - **选择离基变量**:计算各个非零元素与其所在列的基变量的比值,选择比值最小的基变量作为离基变量。 - **更新单纯形表**:利用离基变量和进基变量进行高斯消元操作,更新单纯形表。 ##### 2.4 检查最优性 - **检查是否达到最优解**:当所有的检验数都非负时,当前解即为最优解。 - **特殊情况处理**: - 如果存在无穷多最优解,则可能存在多个非零的检验数相等的情况。 - 如果存在无界解,则说明没有合适的离基变量可以选择。 #### 三、大M法简介 大M法是一种处理包含等于(`=`)约束或大于等于(`>=`)约束的线性规划问题的方法。这种方法通过引入一个足够大的正数M来构造初始可行基,进而应用单纯形法求解。大M法的基本步骤如下: - **添加人工变量**:对于等于或大于等于类型的约束,添加相应的人工变量,并设定其成本为-M(或成本函数中加入M倍的人工变量)。 - **构造初始单纯形表**:构造包含人工变量的初始单纯形表。 - **迭代求解**:使用单纯形法进行迭代求解。 - **去除人工变量**:当得到最优解后,检查人工变量是否仍在基中,如果存在则说明原问题无可行解。 #### 四、改进的单纯形法 题目描述中提到的“改进的单纯形法”可能是指两阶段法,这是一种避免使用大M的替代方法。两阶段法分为两个阶段: - **第一阶段**:构建一个新的线性规划问题,其目标是最小化所有的人工变量之和。 - **第二阶段**:若第一阶段得出的人工变量之和为0,则去掉人工变量,继续使用单纯形法求解原问题。 #### 五、总结 通过上述分析,我们可以了解到单纯形法及其变种如大M法和改进的单纯形法在解决线性规划问题中的具体步骤和应用。这些方法不仅理论严谨,而且在实践中也非常有效。理解并掌握这些方法有助于更好地应对实际工程中的优化问题。此外,题目描述中提到的LINGO软件也是一个非常强大的工具,它提供了方便的界面和功能,可以帮助用户快速地建立模型并求解线性规划问题。
#include<iostream.h>
#include<math.h>
#define M 10000
//全局变量
float kernel[11][31];//核心矩阵表
int m=0,n=0,t=0;//m:结构向量的个数
//n:约束不等式个数
//t:目标函数类型:-1代表求求最小值,1代表求最大值
//输入接口函数
void input()
{
//读入所求问题的基本条件
cout<<"----------参 数 输 入-----------"<<endl;
cout<<"请按提示输入下列参数:"<<endl<<endl;
cin>>m;
cout<<endl<<" 约束不等式数n:"<<" n= ";
cin>>n;
int i,j;
//初始化核心向量
for (i=0;i<=n+1;i++)
for (j=0;j<=m+n+n;j++)
kernel [i][j]=0;
//读入约束条件
cout<<endl<<" 约束方程矩阵的系数及不等式方向(1代表<=,-1代表>=):"<<endl<<endl<<" ";
for (i=1;i<=m;i++)
cout<<" x"<<i;
cout<<" 不等式方向 "<<" 常数项"<<endl;
for (i=1;i<=n;i++)
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- sherryang32012-12-03代码写得很整齐,但若能注释更详细会更好
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