计算机图形学之动画和模拟算法：Soft Body Dynamics：基于粒子的软体模拟.docx

计算机图形学之动画和模拟算法：Soft Body Dynamics：基

于粒子的软体模拟

1 计算机图形学之动画和模拟算法：Soft Body Dynamics：

基于粒子的软体模拟

1.1 简介

1.1.1 软体动力学的基本概念

软体动力学是计算机图形学中的一个分支，专注于模拟和渲染具有柔软特

1. 初始化：定义粒子系统，包括粒子的位置、质量和连接关系。

2. 力计算：根据物理定律，计算作用在每个粒子上的力，如重力、

弹性力、摩擦力等。

3. 更新状态：使用数值积分方法，如欧拉积分或更高级的积分方法，

更新粒子的位置和速度。

4. 约束求解：确保粒子之间的约束得到满足，如距离约束、角度约

束等，以保持物体的形状。

5. 渲染：将更新后的粒子位置转换为图形，进行渲染，以在屏幕上

显示。

下面，我们将通过一个简单的基于粒子的布料模拟示例，来深入理解这些

子的质量为 0.1 单位。

import numpy as np

#

初始化粒子位置

particle_positions = np.zeros((100, 3))

particle_positions[:, :2] = np.mgrid[0:10, 0:10].reshape(2, -1).T

#

初始化粒子质量

particle_masses = np.full(100, 0.1)

#

初始化粒子速度

particle_velocities = np.zeros((100, 3))

#

定义粒子之间的连接关系

spring_indices.append((i*10 + j, i*10 + j + 1))

1.2.2 力计算

接下来，我们计算作用在每个粒子上的力。这里，我们只考虑重力和弹性

力。

#

重力加速度

gravity = np.array([0, -9.8, 0])

#

弹性力计算

def calculate_spring_force(p1, p2, rest_length, k):

delta = p2 - p1

distance = np.linalg.norm(delta)

k = 1000 #

forces[i] += calculate_spring_force(particle_positions[i], particle_positions[j], rest_length, k)

forces[j] -= calculate_spring_force(particle_positions[i], particle_positions[j], rest_length, k)

forces += particle_masses[:, np.newaxis] * gravity

1.2.3 更新状态

使用欧拉积分方法更新粒子的位置和速度。

#

欧拉积分参数

dt = 0.01 #

#

更新粒子速度

particle_velocities += forces / particle_masses[:, np.newaxis] * dt

def solve_constraints(p1, p2, rest_length):

delta = particle_positions[p2] - particle_positions[p1]

distance = np.linalg.norm(delta)

if distance > rest_length:

correction = (rest_length - distance) * delta / distance

particle_positions[p1] += correction / 2

particle_positions[p2] -= correction / 2

for i, j in spring_indices:

solve_constraints(i, j, 1.0)

1.2.5 渲染

#

使用

OpenGL

绘制一个点或小立方体

# glPushMatrix()

# glTranslatef(pos[0], pos[1], pos[2])

# //

绘制代码

# glPopMatrix()

pass

通过以上步骤，我们可以实现一个基本的基于粒子的软体模拟。在实际应

用中，还需要考虑更多的物理效应，如空气阻力、碰撞检测等，以及更复杂的

数值积分和约束求解方法，以提高模拟的准确性和效率。

2 软体物理基础

胡克定律表述为：在弹性限度内，材料的应变与应力成正比。数学上，这

可以表示为：

其中，

2.1.2 应力应变关系

在三维空间中，应力和应变可以分别用 6 个分量的张量来表示，包括 3 个

正应力和 3 个剪应力，以及 3 个线应变和 3 个剪应变。这些关系可以通过弹性

体模拟中，连续介质力学提供了一种将软体视为连续体的方法，从而可以使用

偏微分方程来描述其动力学行为。

2.2.1 拉格朗日和欧拉描述

连续介质力学中有两种描述方法：拉格朗日描述和欧拉描述。拉格朗日描

述关注的是每个质点的运动，而欧拉描述关注的是在固定空间点上流体或固体

的性质随时间的变化。

2.2.2 动力学方程

连续介质力学中的动力学方程通常基于牛顿第二定律，描述了介质内部的

应力和外部的力如何影响介质的加速度。在软体模拟中，这些方程可以被离散

化，以便在计算机上进行数值求解。

为

#

弹性力计算示例

def calculate_elastic_force(particles, i, j, k, d_ij):

"""

计算粒子

i

和粒子

j

之间的弹性力。

:param particles: