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计算机图形学之动画和模拟算法：软体动力学的高级主题

1 软体动力学基础理论

1.1 连续介质力学简介

连续介质力学是软体动力学的核心理论之一，它将物体视为由连续分布的

物质组成的，而不是由离散的粒子组成。这种假设允许我们使用偏微分方程来

描述物体的变形和运动，从而在计算机图形学中实现更真实、更复杂的软体模

拟。

1.1.2 偏微分方程

在连续介质力学中，我们通常使用以下偏微分方程来描述软体的动态行为：

� 动量守恒方程：描述物体内部力的平衡。

� 能量守恒方程：描述物体内部能量的守恒。

� 连续性方程：描述物体的体积守恒。

1.2 有限元方法在软体动力学中的应用

有限元方法(FEM)是一种数值求解偏微分方程的工具，广泛应用于软体动力

学的模拟中。它将复杂的连续体分解为许多小的、简单的单元，然后在每个单

元上求解偏微分方程，最后将所有单元的解组合起来得到整个物体的解。

1.2.1 单元类型

1. 网格划分：将物体分解为许多小的单元。

2. 建立方程：在每个单元上建立描述其动态行为的方程。

3. 求解方程：使用数值方法求解方程，得到每个单元的位移、应变

和应力。

4. 组合解：将所有单元的解组合起来，得到整个物体的解。

1.2.3 示例代码

以下是一个使用 Python 和 NumPy 库实现的简单四面体单元的有限元方法

示例：

import numpy as np

#

#

def calculate_stiffness_matrix(nodes, element, E, nu):

#

J = np.zeros((3, 3))

for i in range(4):

J += np.outer(nodes[element[i]], nodes[element[i]])

#

volume = np.abs(np.linalg.det(J)) / 6.0

def calculate_system_stiffness_matrix(nodes, elements, E, nu):

n_nodes = nodes.shape[0]

n_dofs = n_nodes * 3

system_stiffness_matrix = np.zeros((n_dofs, n_dofs))

for element in elements:

stiffness_matrix = calculate_stiffness_matrix(nodes, element, E, nu)

for i in range(4):

for j in range(4):

system_stiffness_matrix[3 * element[i]:3 * element[i] + 3, 3 * element[j]:3 * element[j]

system_stiffness_matrix = calculate_system_stiffness_matrix(nodes, elements, E, nu)

#

print(system_stiffness_matrix)

在这个示例中，我们首先定义了四面体单元的节点坐标和单元的节点索引，

然后定义了材料属性。接着，我们实现了计算单元刚度矩阵和整个系统刚度矩

阵的函数。最后，我们计算了整个系统的刚度矩阵，并输出了结果。

1.2.4 结果解释

输出的刚度矩阵描述了整个系统在不同位移下的响应。在软体动力学模拟

中，我们通常会将外部力和边界条件应用到这个刚度矩阵上，然后求解得到整

个系统的位移、应变和应力。

计算弹性能量的公式通常基于材料的应变能密度函数，该函数描述了单位体积

材料在变形时的能量变化。

2.1.1 应变能密度函数

应变能密度函数

是描述材料在给定应变

下能量密度的函数。对于线性

弹性材料，

可以简化为胡克定律的形式：

其中，

和

表示应变张量的迹，

表示应变张量的

双线性乘积。

2.1.2 示例代码

以下是一个使用 Python 计算弹性能量的示例代码：

import numpy as np

def strain_energy_density(lame_lambda, lame_mu, strain_tensor):

"""

trace_strain = np.trace(strain_tensor)

energy_density = 0.5 * lame_lambda * trace_strain**2 + lame_mu * np.dot(strain_tensor, stra

in_tensor)

return energy_density

#

lame_lambda = 1.0

lame_mu = 1.0

#

strain_tensor = np.array([[0.1, 0.0, 0.0],

拉格朗日动力学方程是描述系统动力学行为的数学方程，它基于能量守恒

原理。在软体动力学中，拉格朗日方程用于描述物体在受到外力作用时的运动，

包括位置、速度和加速度的变化。

2.2.1 拉格朗日方程

拉格朗日方程的一般形式为：

其中，

是拉格朗日函数，

和