概率论与数理统计是数学的两个重要分支，它们在数据分析、科学研究以及工程实践中都扮演着不可或缺的角色。概率论主要研究随机事件的规律性和数量描述，而数理统计则侧重于通过样本数据来推断总体特征。本文将介绍概率论与数理统计中一些基本的概念、公式及定理。
概率论中涉及的随机事件与概率的基本公式包括了概率的加法原理、减法原理、乘法原理和全概率公式。概率的加法原理指出，两个不相容事件A和B发生的概率是各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。当事件A和B相互独立时，P(A∩B)等于P(A)P(B)。事件的减法原理用于计算事件A发生但事件B不发生的概率，即P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。乘法原理则是用来计算两个事件同时发生的概率，表示为P(A∩B)=P(A)P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
随机变量及其分布是概率论的另一个重要组成部分。离散型随机变量的概率分布通常用分布律来描述，而连续型随机变量的概率分布则通过概率密度函数来表述。分布函数是概率密度函数的积分形式，可用于计算随机变量取值小于或等于某一数值的概率。具体到几种常见的分布，有0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布。每种分布都有其特定的概率密度函数或分布律，并且拥有不同的数学期望和方差值。
在多维随机变量及其分布中，离散型和连续型随机变量的分布可以通过边缘分布和条件分布来分析。随机变量的独立性是数理统计中的一个重要概念，如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的联合分布可以表示为各自边缘分布的乘积。
随机变量的数字特征，如数学期望和方差，为我们提供了随机变量的集中趋势和分散程度的度量。数学期望是一个随机变量的平均值，它是概率分布的加权平均。对于离散型随机变量，数学期望表示为每一个可能取值与其概率乘积的总和；对于连续型随机变量，则通过积分来计算。方差则是衡量随机变量取值波动大小的统计量，它等于随机变量与其数学期望差值平方的数学期望。
协方差和相关系数是用来衡量两个随机变量之间线性相关程度的指标。协方差描述了两个随机变量联合变化的趋势，如果两个变量正相关，协方差为正；如果它们负相关，则协方差为负。相关系数是协方差的标准化形式，它的取值范围是[-1,1]，提供了更加直观的相关性度量。
大数定律与中心极限定理是概率论中描述随机事件频率稳定性的两个重要定理。大数定律表明，随着试验次数的增加，频率将越来越接近概率值。伯努利大数定律和切比雪夫大数定律是其两种常见的形式。中心极限定理描述了在一定条件下，大量独立同分布的随机变量之和的分布将趋近于正态分布，这是数理统计中推断总体参数的重要理论基础。
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理和列维—林德伯格中心极限定理是中心极限定理的两种形式，它们分别适用于二项分布和一般独立同分布随机变量序列。辛钦大数定律也是关于随机变量序列的极限定理，它说明了独立同分布的随机变量之和在一定条件下依概率收敛于它们的数学期望。
除了上述概念和定理之外，切比雪夫不等式给出了随机变量偏离其数学期望的概率界限，是评估随机变量波动的重要工具。
上述内容展现了概率论与数理统计的基础知识点和核心公式，理解和运用这些知识对于解决实际问题具有重要意义。掌握这些原理和公式，可以帮助我们更好地理解和分析现实世界中的随机现象，以及在各种统计分析中进行科学的推断和决策。
