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整数规划分支定界法 整数规划是指在给定的约束条件下，寻找整数解的优化问题。分支定界法是一种常用的整数规划求解方法。本文将详细介绍整数规划分支定界法的基本概念、算法实现和 Matlab 编程实现。 一、整数规划的定义 整数规划是指在给定的约束条件下，寻找整数解的优化问题。它是线性规划的扩展，区别在于变量的取值是整数。整数规划可以用来解决许多实际问题，如生产计划、资源分配、投资决策等。 二、整数规划的分类 整数规划可以分为两类：混合整数规划和纯整数规划。混合整数规划指的是变量中既有整数变量也有连续变量，而纯整数规划则是所有变量都是整数变量。 三、分支定界法的原理 分支定界法是一种常用的整数规划求解方法。其基本思想是将整数规划问题转换为一系列的线性规划问题，并通过递归的方式来解决这些问题。该方法可以确保找到最优解，但计算时间可能较长。 四、Matlab 实现 下面给出了一种使用 Matlab 实现整数规划分支定界法的示例代码： ```matlab function [x,fval,status] = intprog(f,A,B,I,Aeq,Beq,lb,ub,e) ... end ``` 该函数可以解决整数规划问题，其中 `f` 是目标函数向量，`A` 和 `B` 是不等式约束，`Aeq` 和 `Beq` 是等式约束，`I` 是整数约束，`lb` 和 `ub` 是变量的下界和上界，`e` 是精度参数。 五、算法实现 整数规划分支定界法的算法实现可以分为以下步骤： 1. 初始化参数：设置精度参数 `e` 和初始解 `x0`。 2. 求解线性规划：使用 `linprog` 函数求解线性规划问题，获取初始解 `x0` 和初始值 `fval0`。 3. 判断是否有解：如果没有合适的整数解，则返回错误信息。 4. 采用分支定界法：如果有解，则采用分支定界法来求解整数规划问题。 5. 递归求解：在每个递归步骤中，求解一个新的线性规划问题，并判断是否有解。如果没有解，则返回错误信息。 6. 返回结果：返回最优解 `x`、最优值 `fval` 和状态 `status`。 六、实例分析 考虑以下实例： ```matlab f = [-20, -10]; A = [5 4; 2 5]; B = [24; 13]; lb = [0 0]; ub = [inf inf]; I = [1, 2]; e = 0.000001; [x, fval, status] = intprog(f, A, B, I, [], [], lb, ub, e); ``` 该实例是一个整数规划问题，目标函数是 `-20x1 - 10x2`，约束条件是 `5x1 + 4x2 <= 24` 和 `2x1 + 5x2 <= 13`，变量 `x1` 和 `x2` 都是整数。使用 `intprog` 函数可以解决该问题，并返回最优解 `x = [4, 1]` 和最优值 `fval = -90`。 七、结论 整数规划分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，可以解决许多实际问题。Matlab 实现提供了一种方便的方式来解决整数规划问题。但是，计算时间可能较长，需要根据实际情况选择合适的求解方法。