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DVD在线租赁方案的优化的数学模型.doc
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- 1 -
DVD 在线租赁方案的优化模型
摘 要
本文对 DVD 在线租赁的需求预测、购买与分配等相关问题,进行合理的简化假设,
得到该问题的数学模型.对于 DVD 张数问题,根据需求预测表(题中表 1),计算租赁周
期上、下限的平均值,应用图论知识,利用会员对 DVD 的偏好程度建立二部图和图论度
的计算得出对应不同平均租赁周期的 DVD 数量结果.针对 DVD 的现有张数和订单数,给
出了权重矩阵和满意度函数,建立以最大整体满意度为单目标的 0-1 整数规划模型,利
用 Lingo8.0 软件中的@ole 函数从 Excel 中读取权重系数矩阵,求解出最大整体满意度
41
l
= 911.4 5
和其分配方案.利用在线订单,以最大整体满意度和最小购买量为多目标的
0-1 整数规划模型,通过线性加权法化多目标为单目标规划,利用 Lingo8.0 软件求解出
当
10,15,18,21
w
=
时,其最大整体满意度分别为 980.48,1000,978.3,1000,其最小购
买量分别为 981,1475,1805,2085.从网站角度考虑,分析需求预测、购买分配中联系
的参变量,确定了几个值得研究的问题,提出并建立了以网站最大收益和最大整体满意
度为多目标的规划模型.
关键词:0-1 整数规划;租赁周期;满意度
- 2 -
1 问题的提出
考虑如下的在线 DVD 租赁问题.顾客缴纳一定数量的月费成为会员,订购 DVD 租
赁服务.会员只要在线提交订单,网站就会通过快递的方式尽可能满足要求.会员提交的
订单包括多张 DVD,这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的.网站会根据现有的 DVD 数量
和会员的订单进行分发. 请考虑以下问题:
1)通过问卷调查 1000 个会员,得到了愿意观看这些 DVD 的人数.假设网站现有 10 万
个会员,对其中 5 种 DVD 来说,应该至少准备多少张,才能保证希望看到该 DVD
的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD?如果要求保证在三个月内至少
95%的会员能够看到该 DVD?
2)如今给出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线
订单,如何对这些 DVD 进行分配,才能使会员获得最大的满意度?请具体列出前 30
位会员(即 C0001~C0030)分别获得哪些 DVD.
3) 如果你是网站经营管理人员,你如何决定每种 DVD 的购买量,以及如何对这些
DVD
进行分配,才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD,并且满意度最大?
4)如果你是网站经营管理人员,你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重
要问题值得研究?请明确提出你的问题,并尝试建立相应的数学模型.
2 基本假设与符号约定
2.1 基本假设
2.1.1 网站在不太长的时间内会员人数没有太大的变化,网站每月的月费收入基本
保持不变;
2.1.2 不同电影的 DVD 的价格相差不大,视作相等;
2.1.3 网站用速递方式将 DVD 送交给会员,以及会员将 DVD 邮寄给网站的时间都
很短,视为即日到达.邮寄每次都是三只 DVD,而且邮费都是一定的;
2.1.4 允许网站不对部分订单作处理;
2.1.5 每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次,每次获得 3 张 DVD.会员看完 3 张
DVD 之后,只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回(邮费由网站承担),就
可以继续下次租赁;
2.1.6 60%的会员每月租赁 DVD 两次,而另外的 40%只租一次.
2.2 符号约定
m
:会员总数,其中在问题一中,
10�m
万;在问题二、三中,
1000�m
;
n
:DVD 种数,其中在问题一中,
5�n
;在问题二、三中,
100�n
;
w
:会员租借 DVD 的平均租赁周期;
j
d
:DVDj 的现有张数,
1, ,j n= K
;
ij
a
:DVDj 在会员
i
C
的定单中的偏好程度,
1, ,i m= K
,
1, ,j n= K
;
ij
b
:会员
i
C
对 DVDj 的权重系数,
1, ,i m= K
,
1, ,j n= K
;
i
l
:对于网站的分配方案,会员
i
C
的满意度,
1, ,i m= K
;
l
:所有会员对网站分配方案的总满意度.
- 3 -
3 DVD 数量的图论模型
3.1 平均周期的上、下限
会员
i
C
租 DVD 一次(含看及周转 DVD)的时间称为租赁周期
i
w
,而
m
个会员的
平均租赁周期为
w
.一般情况下,一个月内租 DVD 一次的会员当中,最小租赁周期为 15
天,最大租赁周期为 30 天;一个月内租 DVD 两次的会员当中,最小租赁周期为 5 天,
最大租赁周期为 15 天.根据上面所述及假设 2.1.6 可得平均周期上、下限.计算其平均
值(数学期望),有:
( )
inf
5 0.6 15 0.4 9
w
= ´ + ´ = 天
( )
sup
15 0.6 30 0.4 21
w
= ´ + ´ = 天
于是
[ ]
9,21
w
Î
3.2 图论模型
令
{ }
1 2
, , ,
m
C C CC = K
为会员集合,
{ }
1 2
Y , , ,
n
D D D= K
为不同 DVD 集合.
以
X YÈ
为顶点集,若会员
i
C
愿意观看
j
D
,则连一条边,则得到一个图(二部图)
( )
X, YG
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悠闲饭团
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