数值计算实践报告加源码

数值计算实践

实验报告

任课教师： 刘新儒

1 实验一：非线性方程组的数值解法

在实际问题中，数量之间的关系通常是非线性的，而非线性问题较线性问题难解。

代法的最大优点是在方程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方

程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广

泛用于计算机编程中。

1.1 问题描述

多数方程不存在求根公式，因此将所求方程视作函数进行泰勒展开作为近似函数从

而将非线性方程线性化进行迭代求解。

Newton 迭代法的局部收敛性有定理

且 f(x)在包含解的一个区间上有二阶连续导数，若 Newton 迭代法收敛，则至少二

阶收敛并且

对于某些非线性方程，Newton 迭代法具有全局收敛性。

对于多元非线性方程组，原理同样基于一元方程，只不过泰勒展开时需要对每个变

量求偏微分。设多元方程组为 f(x,y,z,u)=v，其中 x,y,z 为待测未知量，u 为输入量

（可能为一个也可能为多个）,v 为输出量。将其进行泰勒展开，化为矩阵的形式得到：

对其求解即为

1.3 算法描述

function varargout=newtons(fun,x0,ep,maxiter)

% NEWTONS 牛顿法求非线性方程组的根

if nargin<4

maxiter=500; % 默认最大迭代次数

end

else

if isa(fun,'function_handle') % 函数以匿名函数的形式给出

fun=sym(fun); % 将匿名函数转化为符号表达式

elseif ~isa(fun,'sym') % 若 fun 不是符号函数

error('fun 必须是符号表达式或匿名函数.') % 给出错误提示

end

vars=symvar(fun); % 提取 fun 的符号变量

J=jacobian(fun,vars); % 求多元向量函数 fun 的雅可比矩阵

fun=matlabFunction(fun,'vars',{vars}); % 将 fun 转换成成匿名函数的形式

Jfun=matlabFunction(J,'vars',{vars}); % 将 J 转换成成匿名函数的形式

Jx0=Jfun(x0(:).'); % 计算 x0 处的雅可比矩阵

if abs(det(Jx0))<=eps || iter>maxiter % 若雅克比矩阵奇异或迭代次数大于

最大迭代次数

exitflag=0; % 认为迭代发散，即根不可靠

break % 退出循环

end

x1=x0(:)-Jx0\fx0(:); % 牛顿迭代计算

xs(iter+1,:)=x1; % 将迭代值依次存入迭代序列中

if norm(x1(:)-x0(:))<=ep % 前后两次迭代值差的绝对值在允许的误差范围内

break % 跳出循环