根据提供的文档内容,我们可以总结和扩展出以下几个关键知识点:
### 平面向量的基本概念与运算
#### 1. 向量的基本性质与运算
- **向量**:具有大小和方向的量,可以用箭头表示。
- **单位向量**:长度为1的向量。
- **垂直向量**:两个向量的点积为0,则这两个向量垂直。
- **向量的模**:向量的长度或大小。
- **向量的数量积(点积)**:两个向量的乘积,结果是一个标量。
#### 2. 平面向量的几何运算
- **向量的加法与减法**:
- 加法:两个向量首尾相接构成的平行四边形的对角线。
- 减法:可视为加上一个相反向量。
- **向量的点积**:用于计算两个向量之间的夹角和判断它们是否垂直。
- **向量的线性组合**:通过向量的加法和数乘实现,是构建更复杂向量的基础。
- **向量的分解**:将一个向量分解成若干个简单向量的组合。
### 具体题目分析
#### 题目一
- **题目描述**:已知 \(a\) 和 \(b\) 是平面内两个互相垂直的单位向量,\(c\) 满足 \((a−c)⋅(b−c)=0\),求 \(|c|\) 的最大值。
- **解题思路**:由于 \(a\) 和 \(b\) 垂直,可以假设 \(a=(1,0)\), \(b=(0,1)\)。根据 \((a−c)⋅(b−c)=0\) 可知 \(c\) 必须位于以原点为中心,\(a\) 和 \(b\) 为直径的圆上。因此,\(c\) 的最大模长为 \(\sqrt{2}\)。
- **答案**:C选项缺失,但根据以上分析,应选择表示 \(\sqrt{2}\) 的选项。
#### 题目二
- **题目描述**:给出两个向量 \(a\) 和 \(b\),且与 \(a-b\) 共线的向量 \(c\),求 \(|a+c|\) 的最小值。
- **解题思路**:通过画图可知,当 \(c\) 与 \(a-b\) 方向相同且 \(c=-b\) 时,\(|a+c|\) 达到最小值,即 \(\sqrt{|a|^2-|b|^2}\)。
- **答案**:B选项缺失,但根据以上分析,应选择表示 \(\sqrt{|a|^2-|b|^2}\) 的选项。
#### 题目三
- **题目描述**:给出向量 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 的条件,求向量 \(c\) 的具体表示形式。
- **解题思路**:根据向量的基本运算法则,结合题目条件进行计算,例如通过向量的线性组合、向量的加减法以及向量的点积来解决问题。
- **答案**:C选项缺失,但根据以上分析,应选择符合题目条件的具体表达式。
### 综合应用
- 在解决平面向量问题时,理解向量的基本性质和几何意义至关重要。灵活运用向量的加减法、点积、模长等概念能够帮助我们有效地解决问题。
- 在实际操作中,绘制图形有助于直观地理解和分析题目,尤其是在涉及到角度、距离和位置关系等问题时。
- 通过具体的例题训练,可以提高对平面向量运算的理解和应用能力。