一次函数在实际问题中的应用,特别是路程类问题,是数学中的常见考点。这类问题通常涉及到两个或多个物体在不同速度下的运动,通过一次函数的图像来描述它们之间的距离关系。以下将详细阐述这类问题的关键知识点:
1. **一次函数解析式**:一次函数通常形式为 `y = kx + b`,其中 `k` 是斜率,表示单位时间内变量的变化量,`b` 是截距,表示在变量为零时函数的值。
2. **函数图像的解读**:图中的横轴通常代表时间`t`,纵轴代表路程`s`。直线段表示匀速直线运动,曲线可能代表变速运动。例如,图中CD段表示甲到达目的地后乙继续前行时的距离变化,直线的斜率即为乙的速度。
3. **相遇问题**:两物体相遇时,它们的相对距离为零。可以通过解析式联立解出相遇时间。例如,题目中的第1题,甲乙相遇在B点,可以找到甲乙速度的关系来求解。
4. **距离不等式**:题目中提到的"相距不超过1千米",可以通过设定距离等于1千米,然后解出相应的时间范围。例如,找出函数值等于1时的时间点,结合图像确定`t`的取值范围。
5. **速度计算**:可以通过图像的斜率来计算速度。例如,第1题中,乙的速度可以通过CD段的斜率得出。
6. **距离与时间的关系**:线性关系通常意味着匀速运动。在第2题中,通过分析图象,可以找到甲乙两人的相遇点E和F,以及他们的速度。
7. **函数表达式的求解**:通过已知点的坐标,可以利用待定系数法求出线性函数的表达式。例如,第3题中,利用两点 `(t1, y1)` 和 `(t2, y2)` 可以求出线段AB的函数表达式。
8. **距离和时间的综合应用**:第4题中,不仅涉及到相遇和追及问题,还涉及到回程相遇。需要理解在不同的时间区间内,甲乙两人之间的距离函数表达式会有所不同。
9. **有效联系时间的计算**:在第4题的第三问中,要找到两人距离不超过5千米且持续联系时间不少于15分钟的时间段。这需要分析s与x的函数图象,并找出满足条件的x的取值范围。
以上就是基于题目内容的一次函数路程问题中的核心知识点,这些问题要求学生具备良好的函数理解能力和实际问题建模能力。通过这样的题目,可以训练学生的逻辑推理和问题解决技巧。