历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。十六世纪初文艺复兴时期， 意大利数学家发现了一元三次方程解的公式——卡当公式。三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法，不过真正解决这一问题的还是十九世纪初的伽罗瓦......
伽罗瓦群与高次方程的可解性问题是数学领域的一个重要里程碑，尤其是在代数学的发展史上占有举足轻重的地位。这个问题源自于人类对于解决更高次方程的追求，从一元一次、二次到三次、四次方程，数学家们逐渐找到了对应的求解公式。然而，五次及以上次的高次方程是否存在类似的根式解法，成为了困扰数学家们几个世纪的难题。
16世纪，意大利数学家如卡当发现了三次方程的解法，接着费拉里解出了四次方程。然而，五次及以上的方程求解之路并不顺利，直至19世纪初，伽罗瓦的出现改变了这一局面。伽罗瓦的工作建立在拉格朗日的预解式概念以及阿贝尔的置换群理论之上，他引入了群论的概念，将方程的解与置换群的结构联系起来。
伽罗瓦群的理论指出，每一个方程对应着一个特定的域，即包含方程所有根的域，称为伽罗瓦域，同时对应一个置换群，即方程根的置换群，称为伽罗瓦群。关键在于，如果一个方程的伽罗瓦群是可解群，那么该方程就能通过根式求解。这为判断高次方程是否可解提供了一个全新的视角。
群论的基本定义包括了封闭性、结合性、单位元的存在以及逆元的存在。伽罗瓦进一步定义了正规子群和极大正规子群，这在群的结构分析中至关重要。正规子群是群的一个子群，满足群内任意元素与其相乘结果仍然是该子群的元素。极大正规子群则是群中所有正规子群中阶最大的一个，形成一个逐级递进的序列。
伽罗瓦的理论不仅解决了根式解的问题，更推动了抽象代数学的发展，为数学研究提供了新的工具——群论。群论不仅影响了代数学，还深入到数学分析、几何学乃至物理学和化学等多个领域。其中最重要的推论之一就是五次及以上的一般代数方程无法通过根式进行求解，同时也揭示了某些几何构造问题（如三等分角和作倍立方体）在欧几里得几何中不可能完成。
伽罗瓦的贡献虽然在他生前并未得到广泛认可，但他的理论最终被证明是数学史上的革命性突破，标志着数学进入了现代阶段。伽罗瓦的群论及其在方程可解性问题上的应用，至今仍是数学教育和研究的重要内容，其深远影响不言而喻。
