高几习题集及参考解答
第一章 仿射几何的基本概念
1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设 T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC（AB=AC）与
一般△A'B'C'相对应，设点 D 为线段 BC 的中点，则 AD BC⊥ ，且 β=γ，T（D）=D'
（图 1）。∵ T 保留简比不变，
即（BCD）=（B'C'D'）= -1，
D'∴ 是 B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设 T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'，
但一般△A'B'C'中，过 A'的中线 A'D'并不平分∠A'，
即 B'与 γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设 D 是 BC 的中点，则 AD ᅩ BC，由于
T( ABC△ )= A'B'C'△ （一般三角形），D'仍为 B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线 A'D'并不垂直底边 B'C'。得下题
2、两条直线垂直是不是仿射不变性？
答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换 T 将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F 分别是 BC、CA，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以 D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是 B'C',C'A',A'B'
的中点，因此 A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图 2）。
设 G 是△ABC 的重心，且 G'=T(G)
G AD∵ ∈ ，由结合性得 G ' A'D'∈ ；
又∵（AGD）=（A'G'D'）即
G'∴ 是△A'B'C'的重心。
4、证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明：设在仿射对应下梯形 ABCD（AB⁄⁄CD）与四边形 A'B'C'D'相对应，
由于仿射对应保持平行性不变，因此 A'B'⁄⁄C'D'，所以 A'B'C'D'为梯形。
5、证明两个全等矩形经过仿射变换为两个等积平行四边形。
证明：设 T 为仿射变换，A
1
B
1
C
1
D
1
与 A
2
B
2
C
2
D
2
为两个全等矩形，其面积分别以 S
1
=S
2
。
)1(图
2图
