高等代数 北大第二版 答案

### 高等代数知识点解析 #### 知识点一：多项式的除法与余式定理 **标题与描述解读：**“高等代数 北大第二版 答案”这一标题提示了该文档提供了北京大学高等代数教材第二版中的习题解答。“高等代数 答案 希望能帮助大家学习而不是偷懒。”这段描述表达了作者希望通过提供这些解答来辅助学习而非简单地获取答案的态度。 **核心知识点详解：** **1. 余式定理** 余式定理是关于多项式除法的一个基本定理，它指出任何多项式\(f(x)\)除以另一个非零多项式\(g(x)\)（其中\(deg(g(x)) > 0\)）时，可以表示为： \[ f(x) = q(x)g(x) + r(x) \] 其中，\(q(x)\)为商多项式，\(r(x)\)为余式多项式，且满足\(deg(r(x)) < deg(g(x))\)或\(r(x) = 0\)。 **例题解析：** 在题目中给出的例子中，我们看到多个利用余式定理解决的问题。例如，在P44.11中，给出了一个具体的多项式除法问题，并求解了其余式。 **2. 多项式除法的具体步骤** 对于多项式除法，通常遵循以下步骤进行计算： - 确定被除多项式\(f(x)\)和除多项式\(g(x)\)； - 计算商多项式\(q(x)\)和余式\(r(x)\)，确保余式\(r(x)\)的次数小于除多项式\(g(x)\)的次数； - 使用多项式展开或合成除法的方法来进行计算。 **例题解析：** 在P44.21中，给定了一个多项式方程，通过设置未知数并利用余式定理来求解系数值。例如，解题过程中通过设立方程组来求解未知数\(m\), \(p\), 和\(q\)。 #### 知识点二：多项式的分解 **核心知识点详解：** **1. 多项式的分解** 多项式的分解是指将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。这通常涉及到寻找多项式的因式，尤其是它的线性因子。 **例题解析：** P45.5中给出了一系列多项式的分解示例。例如，第一个问题涉及将一个二次多项式分解为其线性因子的形式。这里使用了多项式的根的概念以及因式分解技巧。 **2. 不可约多项式** 不可约多项式是指不能被分解为两个较低次数多项式乘积的多项式。在有理数域、实数域或复数域中定义的多项式是否不可约可能会有所不同。 **例题解析：** 在P45.5 (2)中，问题涉及判断一个三次多项式是否可进一步分解。通过分析，得出结论该多项式在给定的上下文中不可约。 #### 知识点三：多项式的展开与化简 **核心知识点详解：** **1. 多项式的展开** 多项式的展开是指将一个多项式表示为各项相加的形式。这个过程通常涉及使用二项式定理或其他代数法则。 **例题解析：** P44.4.1中的例子展示了如何使用多项式的展开技巧来求解一个多项式函数。在这个问题中，首先将给定的多项式\(f(x)\)转换为另一种形式，然后进行展开和简化。 **2. 复合多项式的处理** 在处理包含复数系数的多项式时，需要特别注意复数运算规则，并且可能需要使用到复数的性质和运算方法。 **例题解析：** P44.4.2中给出了一些含有复数系数的多项式的例子。这里展示了如何使用复数的运算规则来展开和简化多项式表达式。 通过以上对给定文档内容的解析，我们可以看出高等代数中涉及的多项式除法、余式定理、多项式的分解以及展开与化简等方面的知识点是非常重要的。掌握这些基础知识对于深入理解和应用高等代数的内容至关重要。