《北大版高等代数习题答案(PDF) 》1--9章

### 高等代数习题解析 #### 一、多项式的除法与因式分解 在高等代数的学习过程中，多项式的除法与因式分解是基础中的基础，本章节将通过对具体习题的解析来深入理解这些概念。 **1. 多项式的除法** ##### 例题 P44.11 对于多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的除法运算，我们需要找到商和余式。 **1)** \[ f(x) = x^3 - 9x^2 + 26x - 27,\quad g(x) = x - 3 \] 解法一： 由题意知，$f(x) = (x - 3)q(x) + r$，其中 $r$ 是余式，$q(x)$ 是商。利用多项式的除法定理求解。 \[ f(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 26 \cdot 3 - 27 = 27 - 81 + 78 - 27 = -3 \] 因此，余式为 $-3$。 解法二： 假设 $f(x) = (x - 3)q(x) + r$，其中 $q(x) = mx + n$，则有 \[ x^3 - 9x^2 + 26x - 27 = (x - 3)(mx + n) + r \] 进一步化简得到 $m = 3, n = 9, r = -3$。 **2)** \[ f(x) = x^3 + 5x^2 + 7x - 1,\quad g(x) = x + 2 \] 根据多项式除法定理，可以求出余式为 \[ r = f(-2) = (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) - 1 = -8 + 20 - 14 - 1 = -3 \] #### 二、多项式的带余除法 ##### 例题 P44.21 **1)** \[ f(x) = x^3 + mx^2 + x + q,\quad g(x) = x + 1 \] 要求余式为 $2x + 1$。 根据多项式除法定理，我们有 \[ f(x) = (x + 1)q(x) + (2x + 1) \] 其中 $q(x)$ 是商。 通过比较系数的方法可以得到 $m = 1, q = -1$。 **2)** \[ f(x) = x^3 + mx^2 + 2x + p,\quad g(x) = x + 1 \] 要求余式为 $2x + 1$。 同上，我们可以得到 \[ f(x) = (x + 1)q(x) + (2x + 1) \] 进而解得 $m = -2, p = -1$。 #### 三、多项式的因式分解 **1.** 对于题目 P44.3.1 \[ f(x) = x^5 - 5x^3 + 8x \] 用 $g(x) = x^3 + 3x$ 去除。 \[ f(x) = (x^3 + 3x)q(x) + r(x) \] 经过计算，可以得到 \[ q(x) = x^2 - 5x + 17,\quad r(x) = -51x + 327 \] **2.** 对于题目 P44.3.2 \[ f(x) = (x - i)(x + i)x^2 - (12 - 8i)x + (9 - 8i) \] 利用多项式的乘法展开，可以得到 \[ f(x) = x^4 - (12 - 8i)x + (9 - 8i) \] **3.** 对于题目 P44.4.1 \[ f(x) = x^5 - 1 \] 可以表示为 \[ f(x) = (x - 1)q(x) \] 通过多项式除法可以得到 \[ q(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 \] **4.** 对于题目 P44.4.2 \[ f(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 11 \] 可以用 $g(x) = x - 2$ 去除，得到 \[ f(x) = (x - 2)q(x) + r(x) \] 计算后可得 \[ q(x) = x^3 + 3x + 7,\quad r(x) = 22 \] #### 四、多项式的综合应用 **1.** 对于题目 P45.5 **1)** \[ f(x) = x^2 - 3x + 2 \] 给出多项式 \[ g(x) = x^2 - x - 2 \] 利用多项式的因式分解，可以得到 \[ f(x) = (x - 1)(x - 2),\quad g(x) = (x - 2)(x + 1) \] 因此，$f(x) + g(x) = (x - 1)(x + 1)$。 **2)** \[ f(x) = x^4 - 4x + 3 \] 给出多项式 \[ g(x) = x^3 - x^2 + 1 \] 这两个多项式均不可约，因此 \[ f(x) + g(x) = x^4 - x^2 - 4x + 4 \] **3)** \[ f(x) = x^4 - 10x^2 + 1 \] 给出多项式 \[ g(x) = x^3 - 2x^2 - 6x + 2 \] 经过因式分解，可以得到 \[ f(x) = (x^2 - 2x - 1)(x^2 + 2x - 1),\quad g(x) = x^3 - 2x^2 - 6x + 2 \] 因此，$f(x) + g(x) = x^4 - 2x^3 - 8x^2 + 8x - 1$ #### 五、多项式的应用实例 **1.** 对于题目 P45.6 **1)** \[ f(x) = x^2 - 2x + 1 \] 给出多项式 \[ g(x) = x^2 - x - 2 \] 通过多项式的加减运算，可以得到 \[ f(x) + g(x) = 2x^2 - 3x - 1 \] **2)** \[ f(x) = x^3 - yx^2 + 4x - 14 \] 给出多项式 \[ g(x) = x^2 - 2x + 4 \] 通过多项式的加减运算，可以得到 \[ f(x) + g(x) = x^3 - (y + 1)x^2 + 6x - 18 \] 以上解析了高等代数习题集第一章的部分习题，通过这些具体的例子，我们可以更加深刻地理解多项式的除法、因式分解以及它们的应用。这些基础知识对于后续学习高等代数中的其他更复杂概念非常重要。