实变函数与泛函分析基础第六章答案 程其襄编

根据提供的信息，我们可以总结出以下相关的知识点，这些知识点主要集中在实变函数与泛函分析的基础概念上，特别是针对程其襄等人编著的《实变函数与泛函分析基础》一书第六章的答案部分。 ### 知识点一：基本概念与性质 1. **连续性**： - 对于函数\(f\)在区间\((a, b)\)内，如果对于任意\(x_0 \in (a, b)\)，都有\(f(x_0 + 0) = f(x_0) = f(x_0 - 0)\)，则称\(f\)在\((a, b)\)内连续。 - 若存在序列\(\{x_n\} \subset E\)使得\(x_n \leq x_0\)且\(\lim_{n \to \infty} x_n = x_0\)时，有\(\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0 - 0)\)，则说明\(f\)在\(x_0\)左侧极限存在。 - 如果还有\(f(x_0 + 0) = g(x_0 + 0)\)，则进一步说明\(f\)与\(g\)在\(x_0\)处的右侧极限相同。 2. **一致收敛性**： - 若函数列\(\{f_n\}\)在区间\([a, b]\)内一致收敛到函数\(f\)，即\(\forall \varepsilon > 0\)，存在\(N > 0\)，当\(n > N\)时，有\(|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon\)对所有\(x \in [a, b]\)成立。 - 对于一致收敛的函数列\(\{f_n\}\)，若每个\(f_n\)都是有界变差函数，则极限函数\(f\)也是有界变差函数。 3. **有界变差函数**： - 函数\(f\)在区间\([a, b]\)上有界变差，如果存在常数\(K > 0\)，对于任意分割\(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_m = b\)，均有\(\sum_{i=1}^{m} |f(x_i) - f(x_{i-1})| \leq K\)。 - 若函数列\(\{f_n\}\)在区间\([a, b]\)内一致收敛到函数\(f\)，且每个\(f_n\)是有界变差函数，那么\(f\)也是有界变差函数。 ### 知识点二：特殊函数与性质 1. **函数\(f(x) = x^\alpha \sin \frac{1}{x^\beta}\)的性质**： - 当\(\alpha \leq \beta\)时，函数\(f(x) = x^\alpha \sin \frac{1}{x^\beta}\)在\([0, 1]\)上不是有界变差函数。 - 通过构造特定的点序列\(\{x_k\}\)，可以证明\(\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} |f(x_k) - f(x_{k-1})| = \infty\)。 - 当\(\alpha > \beta > 0\)时，\(f(x)\)的导数\(f'(x) = \alpha x^{\alpha - 1} \sin \frac{1}{x^\beta} - \beta x^{\alpha - \beta - 1} \cos \frac{1}{x^\beta}\)在\([0, 1]\)上几乎处处存在，并且\(f(x)\)可以通过积分表示。 2. **单调函数的性质**： - 如果一个函数\(f\)在区间\([a, b]\)上几乎处处的导数非负，则\(f\)在\([a, b]\)上是单调递增的。 - 通过计算两个不同点\(x_1, x_2 \in [a, b]\)处的积分，可以得到\(f(x_2) - f(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f'(t) dt\)，从而证明单调性。 ### 知识点三：函数的有界变差与单调性的关系 - 对于函数\(f\)，如果它在区间\([a, b]\)上有界变差且几乎处处导数非负，则\(f\)在\([a, b]\)上是单调递增的。 - 这里“几乎处处”意味着除了一个测度为零的集合外，导数均满足条件。 以上内容概括了《实变函数与泛函分析基础》第六章中的核心知识点，涉及函数的连续性、一致收敛性、有界变差函数以及特殊函数的性质等方面。这些概念和性质不仅在理论数学中有重要地位，在应用数学和工程领域也有广泛的应用。