【Matlab传染病模型详解】
本实验旨在理解和应用传染病模型，特别是SIS（易感者-感染者-易感者）模型，通过Matlab软件求解相关的微分方程组，并进行图形化展示。SIS模型是一种简化了的传染病传播理论，用于模拟疾病在人群中的传播动态。
**SIS模型假设**：
1. 人口被分为易感者（S，Susceptible）和感染者（I，Infected）两个群体。
2. 每天每个感染者会以平均日接触率λ与易感者接触，导致易感者感染。
3. 感染者每天有治愈率σ恢复为易感者，治愈率为日治愈率。
**微分方程模型**：
基于上述假设，可以建立如下微分方程模型：
\[ \frac{ds}{dt} = -\lambda si \]
\[ \frac{di}{dt} = \lambda si - \sigma i \]
其中，s(t)和i(t)分别为易感者和感染者在时间t的占比，λ是日接触率，σ是日治愈率。
**Matlab实现**：
在Matlab中，我们首先定义相关函数，如`pr1(i,lambda,sigma)`，该函数表示微分方程的右边部分。接下来，通过`ode45`函数求解微分方程，这一步可以得到随时间变化的s(t)和i(t)的数值解。
对于不同σ值的情况，我们分别进行了绘图分析：
1. 当σ>1时，感染者的恢复速度快于新感染的速度，系统趋向稳定，易感者比例逐渐增加，感染者比例下降。
2. 当σ<1时，情况相反，感染者的恢复速度慢于新感染的速度，感染者比例可能持续增长，形成爆发趋势。
3. 当σ=1时，模型达到平衡，感染者的数量保持在一个固定比例，不再变化。
**Matlab代码示例**：
```matlab
function y=pr1(i,lambda,sigma)
y = -lambda.*i.*(i-(1-1./sigma));
end
% 对不同sigma值进行绘图
for sigma = [2, 0.5, 1, 0.5]
% 定义其他参数
lambda = 0.3;
% 绘制曲线
i = 0:0.01:1;
y = pr1(i,lambda,sigma);
plot(i,y);
title(['σ = ', num2str(sigma)]);
end
```
通过上述代码，我们可以观察到随着σ值的变化，模型预测的疾病传播动态也随之变化。当σ>1时，疾病趋于消失；σ=1时，系统达到动态平衡；而σ<1时，疾病可能会持续传播。
此外，为了模拟疾病随时间的变化，我们可以用`ode45`求解微分方程组，例如：
```matlab
function di=crb(t,i,lambda,sigma)
di = -lambda*i*(i-(1-1/sigma));
end
% 对不同sigma值求解并作图
for sigma = [2, 1, 0.5]
lambda = 0.01;
% 求解微分方程
tspan = [0, 1000];
initial_condition = [0.9, 0.2]; % 初始条件
[t, i] = ode45(@(t,y) crb(t,y(1),lambda,sigma), tspan, initial_condition);
% 绘制结果
plot(t, i(:,1), t, i(:,2), t, ones(size(t)));
legend(['\sigma=', num2str(sigma)]);
hold on;
end
```
这段代码展示了随着时间推移，易感者和感染者比例的变化情况，以及σ值对疾病传播的影响。
总结，通过Matlab求解SIS模型，我们可以深入理解传染病的动态过程，为公共卫生政策制定提供数学依据。在实际应用中，根据实际情况调整模型参数，可以预测不同防控措施下的疾病传播趋势，对传染病的控制和预防具有重要意义。
