概率论与数理统计习题7解答.doc

在概率论与数理统计的学习过程中，我们常常需要对参数进行估计，常见的方法有矩估计和极大似然估计。以下是对题目中涉及知识点的详细解释： 1. **矩估计法**： - 矩估计法是根据样本的矩来估计总体参数的一种方法。对于一阶矩，如果总体的一阶矩存在，那么样本均值通常是总体均值的无偏估计。在习题7的部分（1）中，无论是二项分布、指数分布还是均匀分布，都是通过计算样本的平均值来作为相应参数的矩估计。 2. **极大似然估计法**： - 极大似然估计法是根据样本数据找到使得样本出现概率最大的参数值。在习题7的部分（2）中，对于各种分布（二项分布、指数分布、均匀分布），都是通过对似然函数取对数，然后令似然函数的导数等于零来找到参数的最大似然估计。 3. **二项分布**： - 在习题7的第一部分，提到的是从二项分布B(m,p)中抽取样本，求p的矩估计和极大似然估计。二项分布描述了n次独立重复试验中成功次数的概率分布，其中每次试验成功的概率为p。这里求得了p的矩估计mX和极大似然估计mX。 4. **指数分布**： - 在习题7的第二部分，总体服从指数分布，其概率密度函数为f(x) = λe^(-λx)，0 < x < ∞。指数分布常用于描述连续随机变量的等待时间。这里分别给出了参数λ的矩估计和极大似然估计，都是样本的平均值。 5. **均匀分布**： - 第三和第四部分涉及到的是均匀分布。均匀分布在(a, b)区间内，其概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，a ≤ x ≤ b。对于(a, b)上的均匀分布，矩估计和极大似然估计都是基于样本的最小值和最大值来确定参数的。 6. **正态分布**： - 第五部分中，数据来自正态分布N(μ, σ^2)，其中μ已知，要求σ^2的极大似然估计。正态分布的似然函数是高斯函数，通过对其对数似然函数求导，可以得到σ^2的极大似然估计量为样本方差的倒数。 7. **无偏估计**与**方差比较**： - 在第六部分，讨论了指数分布下，不同形式的估计量的性质。无偏估计是指估计量的期望值等于待估参数的真实值。而方差则衡量了估计量的稳定性，方差小意味着估计更稳定。对于指数分布，比较不同形式的估计量的无偏性和方差，有助于选择最优估计。 以上就是针对题目内容涉及的统计学知识的详细解析，包括矩估计和极大似然估计的原理和应用，以及如何判断和比较不同估计量的性质。这些内容对于理解和应用概率论与数理统计中的参数估计概念至关重要。