共轭梯度法实验报告.doc

共轭梯度法是一种在数值线性代数中用于求解大型对称正定线性方程组的有效算法。该方法基于最小化二次泛函，它等价于寻找线性方程组的解。在实验中，通过MATLAB编程实现这一方法，可以提升对共轭梯度法的理解和编程技能。 实验原理主要涉及以下几点： 1. 共轭梯度法的核心是解决形如`Ax=b`的线性方程组，其中`A`是对称正定的n阶矩阵，`b`是给定的n维向量，`x`是未知解向量。二次泛函`f(x) = (1/2) * x^T * A * x - b^T * x`的最小值点对应于方程组的解。 2. 求解过程中，通过选取初始向量`x0`，并寻找一系列搜索方向`dk`和步长`αk`，逐步逼近最小值点。搜索方向是共轭的，即`dk`与之前的向量`dk-1`是正交的，这减少了迭代中的计算复杂性。 3. 在每一步迭代中，首先确定步长`αk`，使得沿着`dk`方向的函数下降最快。这通常通过一元函数极值条件来确定，即`f'(αk*dk) = 0`，计算得到`αk`。 4. 更新解向量`xk`：`xk+1 = xk + αk * dk`。接着确定下一次迭代的搜索方向`dk+1`，它需要在由`xk`和`dk`张成的平面上找到最佳下山方向。通常选择`dk+1`使得它与所有之前的搜索方向正交，且能有效减少函数值。 5. 共轭梯度法的计算公式包括：`dk = b - Axk`（初始步），`dk+1 = rk+1 - βk * dk`（后续步），其中`rk+1 = b - Axk+1`是残差向量，`βk`是通过正交关系计算得到的系数。 6. 定理2表明，共轭梯度法生成的向量序列`{xk}`和残差序列`{rk}`具有特定的性质，如正交性、共轭性等，且它们构成Krylov子空间的基。这意味着最多进行n步迭代，就可以找到方程组的精确解。 7. 实际应用中，由于计算误差，正交性可能会丧失，导致算法在达到预定的误差阈值或最大迭代次数时终止。因此，共轭梯度法常被用作迭代法。 8. 在MATLAB中实现共轭梯度法，可以利用矩阵向量乘法的特性，尤其是对于稀疏矩阵，能够显著减少计算量，提高效率。 9. 算例部分，实验者提供了一个具体的线性方程组，并给出了相应的MATLAB代码，用于演示共轭梯度法的运行过程和结果分析。 共轭梯度法是一种高效且广泛应用的求解对称正定线性方程组的方法，尤其适合处理大型稀疏矩阵问题。通过实验，学生能够深入理解算法原理，并提升编程实践能力。