【微积分基本定理】是微积分学中的核心定理之一，它建立了微分与积分之间的桥梁，将求原函数（不定积分）的问题转化为求导数的问题。定理主要包括两个部分：第一部分是积分基本定理，即若函数f(x)在区间[a, b]上连续，F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数（即F'(x)=f(x)），那么定积分∫_a^bf(x)dx等于F(b) - F(a)。这个定理揭示了积分运算与原函数之间的关系。
在题目中给出的练习中，我们看到一系列基于微积分基本定理的应用问题。例如：
1. 题目要求求解∫421x dx，这可以通过找到1/x的原函数ln|x|来解决，利用基本定理，我们得到∫421xdx = ln 4 - ln 2 = ln 2。
2. 计算阴影区域的面积实际上就是求积分∫20 3x^2dx，这相当于求x^3在[0, 2]区间的积分，结果为8。
3. 定积分∫10 (2x+e^x)dx，需要找到2x和e^x的原函数，分别是x^2和e^x，然后应用积分基本定理计算，得到e。
4. 对于∫2-1 f(x)dx，由于f(x)在不同区间有不同的表达形式，我们需要分开计算，最后相加，得到答案7/2。
5. 函数F(x) = ∫x0 t(t-4)dt的最值问题，通过求F'(x)并分析其符号变化，可以找出函数的最大值和最小值，这里最大值为0，最小值为-32/3。
6. ∫20 (x-1)dx的计算，利用基本定理直接求解，结果为0。
7. 求解a的值，使∫a1 (2x+1/x)dx = 3 + ln 2，通过积分并设置等式，可以解出a=2。
8. 对于∫e0 f(x)dx，f(x)包含两部分，分别求积分后相加，得到答案4/3。
9. 分别计算两个定积分，(1)∫21 (2x^2-1/x)dx，(2)∫(sin x-sin 2x)dx，通过找到对应的原函数，求解出积分。
10. 已知二次函数f(x)，根据条件求解解析式并找到最大值和最小值，这需要运用二次函数的性质以及积分的几何意义。
这些题目充分体现了微积分基本定理在实际问题中的应用，包括计算定积分、求函数的原函数、寻找函数的极值以及利用定积分解决几何问题。对于学习者来说，理解和掌握微积分基本定理是至关重要的，因为它是解决许多微积分问题的关键工具。
