在数学领域，特别是初等数学，化循环小数为分数是一项重要的技能，它涉及到数论和代数的基础概念。循环小数是指小数部分有一段数字无限重复出现，分为纯循环小数和混循环小数。这篇论文主要探讨的是如何通过猜想验证的方法将循环小数转化为分数。
论文关注的是纯循环小数。对于循环节是一位数字的纯循环小数，例如0.111...（＠①）和0.333...（＠②），通过猜想和验证发现，这些小数可以表示为分子是循环节数值、分母是9的分数。比如0.111...可以写作1/9，0.333...可以写作3/9。这种转化的逻辑基于两个事实：一是0.111...介于1/10和1/8之间，二是通过实际除法验证，1/9确实等于0.111...，同理3/9等于0.333...。经过多次验证，可以得出一般规律：一个循环节为一位数字的纯循环小数可以表示为循环节数字作为分子，9作为分母的分数，若可以约分，则进一步约分。
接着，论文扩展到循环节是两位数字的纯循环小数，如0.121212...（＠⑤）和0.131313...（＠⑥）。通过类似的方法，猜想分母可能是99，并通过计算验证，如12/99等于0.121212...，13/99等于0.131313...，从而得出结论：循环节为两位数字的纯循环小数可以表示为循环节数字作为分子，99作为分母的分数，然后进行约分。
论文进一步引导读者思考循环节为三位数字的纯循环小数，如0.123123123...，猜想分母应该是999，通过验证证明这个猜想是正确的。这一推理过程遵循了之前的一般规律，即循环节的位数与9的个数相匹配。
对于混循环小数，如0.135...（循环节是1，3，5，不循环部分是1），论文建议将混循环小数改写为一个纯循环小数加上一个有限小数的形式，然后分别转换。以0.135...为例，可以将其拆分为0.1（不循环部分）+0.035...（纯循环部分），将0.035...转化为纯循环小数的分数形式，如0.035...=35/990，然后与不循环部分相加，得到0.1 + 35/990 = 1/10 + 35/990 = 99/990 + 35/990 = 134/990，简化后得到分数形式。这显示了混循环小数转换成分数时，分母由一个9和若干0组成，0的个数等于不循环部分的数字个数，而分子则由不循环部分与第一个循环节组成的数减去。
论文利用猜想验证的方法，系统地阐述了如何将循环小数转化为分数，涉及到了无限递缩等比数列的求和公式，以及对分数性质的理解。通过实例和逐步推理，使得这一抽象概念变得直观易懂，适合初中学段的学生学习和掌握。
