2020版高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值课件北师大版选修2_2

【知识点详解】 高中数学中的导数应用主要集中在求解函数的极值问题，这在实际生活中有着广泛的应用，比如在优化问题、经济分析等领域。在第三章导数应用的3.1.2部分，主要讨论了如何利用导数判断函数在某点是否存在极大值或极小值，并给出了求解极值的步骤。 1. **函数的极值定义**： - **极大值**：如果在包含点x0的区间(a, b)内，没有其他点的函数值大于或等于f(x0)，则称x0为极大值点，f(x0)为极大值。 - **极小值**：同理，如果在包含点x0的区间内，没有其他点的函数值小于或等于f(x0)，则称x0为极小值点，f(x0)为极小值。 - **极值点**：极大值点和极小值点统称为极值点。 2. **极值的存在条件**： - 极值点通常出现在函数的一阶导数为零的点，但不是所有导数为零的点都是极值点。还需要进一步检查二阶导数或函数在该点两侧的单调性来确认。 3. **求极值的步骤**： - **步骤1**：求出函数f(x)的一阶导数f'(x)。 - **步骤2**：解方程f'(x) = 0，找到可能的极值点。 - **步骤3**：分析f'(x)在每个解x0左右两侧的符号变化，确定是否为极值点： - 若f'(x)在x0左侧为正，右侧为负，则x0是极大值点。 - 若f'(x)在x0左侧为负，右侧为正，则x0是极小值点。 - 若f'(x)在x0两侧符号相同，则x0不是极值点。 4. **注意事项**： - 导数为0的点不一定是极值点，例如拐点或水平的切线。 - 极值点必须是函数单调性的改变点，即导数的符号发生改变。 - 极大值不一定大于极小值，这取决于函数的具体形状。 5. **应用实例**： - 函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1和f(x) = x^2 - 2ln x是两个具体的例子，可以通过求导和分析单调性来找出它们的极值。 通过以上知识，我们可以解决如【典例】中给出的函数极值问题，对于f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 1，首先求其一阶导数f'(x) = 6x^2 + 6x - 12，然后解导数等于零的方程，找到可能的极值点，再分析这些点两侧导数的符号，确定极值。同样，对于f(x) = x^2 - 2ln x，也要进行相同的处理，注意考虑函数定义域以及导数在x=0时的处理，因为ln x在x=0处未定义。