【知识点详解】
本文主要涉及了九年级数学中的二次根式及其性质，具体包括以下几个关键知识点：
1. **绝对值性质**：题目中的不等式 `|a| > 0`，`a^2 + 1 > 0` 分别展示了绝对值非负和平方数非负的性质。对于任意实数 a，`|a|` 表示 a 的非负值，因此 `|a| >= 0`，而 `a^2` 总是非负的，所以 `a^2 + 1` 必定大于零。
2. **二次根式化简**：题目中的选项涉及到将二次根式化简为整数，例如 `(－)^2 = -4`。这表明负数的平方根仍然是负数，平方后会得到正数。
3. **绝对值与代数式的关系**：如 `|a| - a = 0` 表示 `|a| = a`，这意味着 a 是非负数，因此 `=` 等于 a。
4. **非负性**：绝对值和平方根都具有非负性，如 `|y + 2| + sqrt(b^2) = 0` 暗示 `y = -2` 和 `b = 0`，因为绝对值和平方根不会产生负值。
5. **数轴表示实数**：题目中提到的数轴可以帮助我们理解实数的大小关系，比如 `|a| + sqrt(-a^2)` 的化简，根据数轴，可以确定 a 的正负，从而简化表达式。
6. **三角形三边关系**：在几何问题中，三角形的边长满足两边之和大于第三边，即 `3 < x < 7`，这个条件可以用来化简表达式。
7. **因式分解**：题目中的 `x^2 - 9` 和 `x^2 - 3` 可以通过平方差公式进行分解，即 `x^2 - b^2 = (x + b)(x - b)`。
8. **代数式的值**：当给定 a 或其他变量的值时，可以计算表达式的值，例如 `a + sqrt(a^2)`，在给定 a = 9 的情况下，小明和小芳的解答分别给出了不同的结果，但只有小芳的解答是正确的，因为她正确应用了二次根式的性质。
9. **二次根式的最值**：二次根式 `sqrt(x^2)` 的最小值是 0，当 x = 0 时取得。
10. **指数的性质**：若 `20^n` 是整数，则 n 的最小值是使 `2^n` 和 `5^n` 都是整数的最小正整数，这里 n = 5。
11. **绝对值与有理数的结合**：当 a < 0 时，`|a - 3| - sqrt(a^2)` 可以简化为 3。
12. **绝对值的性质**：表达式 `|a - 4| + |a - 11|` 可以通过分析 a 的位置来简化，最终得到 a 的取值范围。
13. **根号下的运算**：计算题中涉及到平方根的乘法、除法、平方等运算，需注意根号前后的符号变化。
14. **化简二次根式**：通过平方、开方等运算，将各式化简到最简形式。
15. **代数式的求值**：在给定条件下，计算代数式的值，如 `a + sqrt(a^2)`。
这些题目和解答主要检验了学生对二次根式性质、绝对值、数轴表示、因式分解、实数非负性、三角形三边关系以及代数式化简和求值的理解和应用能力。通过解决这些问题，学生可以加深对这些概念的理解，并提高解题技巧。
