2021_2022学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课后篇巩固提升含解析新人教A版选修

空间向量是高中数学中的重要概念，特别是在解决立体几何问题时有着广泛的应用。在3.1.4章节中，我们关注的是空间向量的正交分解及其坐标表示。这一部分的知识点主要包括： 1. **向量的正交分解**：在三维空间中，任何向量都可以被分解为与一组基向量正交的分量。这里的正交意味着两个向量的点积（内积）为零。例如，在题目中的问题3中，向量OG可以通过向量OA、OB和OC的正交分解来表示。 2. **坐标表示**：向量在特定基底下的坐标表示是指将向量表达为基底向量的线性组合。例如，向量p在基底{a, b, c}下的坐标是(3, 2, 1)，这意味着p=3a + 2b + c。而在问题2中，向量p在新的基底{a+b, a-b, c}下的坐标需要通过转换得到。 3. **基底的概念**：一组不共面的三个向量可以构成空间的一个基底，它们能线性表示空间中的任何向量。问题1考查了如何判断一组向量是否构成基底，答案C中，向量a+b, b-a, c不共面，因此可以作为基底。 4. **重心与向量表示**：在问题3中，G1是三角形ABC的重心，G是OG1上的点。利用重心的性质，可以找到向量OG在基底{OA, OB, OC}下的坐标，从而推导出(x, y, z)的值。 5. **空间直角坐标系**：在问题4中，通过建立以DA, DC, DD1为轴的空间直角坐标系，可以将向量a在新坐标系下的坐标表示出来。这里，向量a的坐标从(2, 1, -3)转换到了(-1, 8, -9)。 6. **正方体中的向量**：在正方体中，如问题5所示，可以利用正方体的对称性质和向量加法来求解向量BE的表达式。 7. **向量的关系**：问题6和7涉及到向量平行、垂直和构成基底的条件。例如，如果两个向量不能和任何其他向量构成基底，那么它们是平行的；而垂直的向量不一定平行。同时，如果三个向量构成基底，且它们的线性组合等于第四点的向量，那么这四点共面。 8. **平行六面体中的向量**：问题8中提到了平行六面体，向量MA和ND可以被分解为其所在面对角线的一部分，这有助于理解和表达向量的关系。 通过以上知识点的解释，我们可以看到，空间向量的正交分解和坐标表示是解决立体几何问题的关键工具，它们可以帮助我们将复杂的几何问题转化为代数问题，从而使问题更容易解决。掌握这些概念和方法，对于理解空间几何结构和解决实际问题至关重要。