广东省佛山市顺德区均安中学高中数学 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学案 新人教A版选修2-1

【空间向量的正交分解及其坐标表示】是高中数学中的一个重要知识点，主要涉及空间向量的基本概念和性质。在新人教A版选修2-1的课程中，这一部分的学习目标是理解和掌握向量的基底、基向量、正交分解以及空间向量的坐标表示。 **空间向量的基底**指的是空间中不共面的三个向量，这些向量可以用来表示空间中任意一个向量。**基向量**则是基底中的每个向量，它们具有线性无关的特性，意味着没有一个基向量可以表示为其他基向量的线性组合。 **空间向量基本定理**指出，对于空间中任意一个向量p，存在一组唯一的有序实数组(x, y, z)，使得p = xa + yb +zc，这里的a、b、c是空间的基向量。这说明了空间向量可以用基向量进行线性表示。 **单位正交分解**是将向量按照基底分解，基底中的基向量互相垂直（正交）且长度为1，这样的基底称为单位正交基底，常用{e1, e2, e3}或{i, j, k}来表示。向量在单位正交基底下的分解形式为p = xe1 + ye2 + ze3。 **空间向量的坐标表示**是在给定空间直角坐标系O-xyz下，向量p = ax + by + cz，其中i、j、k分别是x轴、y轴、z轴正方向的单位向量。有序实数组(x, y, z)被称为向量p的坐标。 在实际应用中，如【基础自测】的题目，可以通过向量线性组合的性质来解题。例如，如果知道向量之间的关系，可以解出未知的坐标值。同时，判断一组向量能否构成基底，关键在于它们是否线性无关，即不能有任何一个向量可以表示为其他向量的线性组合。 在【合作学习】和【检测反馈】的部分，通过解决具体问题，比如在几何体中找到点的坐标、用基底表示向量等，进一步巩固和应用所学知识。 空间向量的正交分解和坐标表示是理解和解决三维几何问题的关键工具，它连接了代数与几何，为解析几何和立体几何问题的求解提供了强大的理论支持。