【成才之路】高中数学 3-1-4第4课时 空间向量的正交分解及其坐标表示同步检测 新人教A版选修2-1.doc

析] 如果向量a，b与任何向量都无法构成空间的一个基底，这意味着a和b必定是共线的。在空间向量理论中，一组基底由三个不共线的向量组成，它们可以自由地张成整个空间。因此，如果a和b不能与其他向量一起成为基底，那么它们必定在方向上存在线性关系，即其中一个向量可以表示为另一个的常数倍。这并不意味着它们必须同向或反向，仅仅是共线即可。所以正确答案是A，a与b共线。 通过以上题目，我们可以深入理解空间向量的一些关键概念： 1. **向量的正交分解**：在空间中，一个向量可以分解为与一组基底向量正交的分量，这些分量沿着基底向量的方向。例如，在直角坐标系中，任何向量都可以分解为沿x，y，z轴的分量。 2. **坐标表示**：向量可以用它的坐标来表示，即向量在特定基底下的分量。在标准坐标系中，一个向量的坐标是它在x，y，z轴上的投影长度。 3. **向量的性质**：向量的点积（内积）可以用来判断两个向量是否垂直，因为两个向量垂直当且仅当它们的点积为0。向量的模长（长度）等于它与自身点积的平方根。 4. **基底向量**：空间中的三个不共线向量可以构成基底，任何其他向量都可以表示为这三个基底向量的线性组合。如果一组向量不能构成基底，意味着它们线性相关。 5. **向量的线性组合**：一个向量可以表示为其他向量的线性组合，如向量d可以表示为λa+μb的形式，其中λ和μ是标量。 6. **共线与共面向量**：共线向量指的是可以表示为一个非零标量乘以另一个向量的向量。如果三个向量共面，意味着它们不能构成空间的基底，因为它们不能张成三维空间。 7. **几何应用**：向量可以用来描述空间中的点、线和面的位置关系，例如在四面体O-ABC中，重心G1可以帮助我们理解点G与顶点的关系。 通过解答这些题目，学生可以加深对空间向量的理解，提高解决相关问题的能力，这对于学习高中数学，尤其是选修2-1中的空间向量部分至关重要。这些知识点不仅适用于解决数学问题，也为未来学习更高级的数学概念，如线性代数，提供基础。