【成才之路】高中数学 3-2-3第3课时 向量法在空间垂直关系中的应用同步检测 新人教A版选修2-1.doc

【向量法在空间垂直关系中的应用】 向量法是一种在几何问题中处理空间垂直关系的重要工具，尤其在高中数学的立体几何部分。这个主题主要涉及向量的运算，包括向量的点积（内积）和线性组合，以及它们如何决定两个向量或者一个向量和平面之间的垂直关系。 1. **向量的垂直性**：当两个向量的点积为零时，我们说这两个向量是垂直的。例如，在选择题1中，直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，意味着它们的点积必须等于零，从而可以解出m的值。 2. **法向量**：平面的法向量是与平面垂直的非零向量，它可以表示平面的方向。在选择题2中，判断一个向量是否可以作为平面α的法向量，需要看它是否能被已知的法向量整除，因为所有法向量都是平面法向量的倍数。 3. **向量的线性组合与垂直关系**：在解答题3中，通过线性组合ka+b与2a-b的点积等于零来确定常数k的值，从而保证这两个向量垂直。 4. **向量的几何应用**：在选择题4中，利用向量的坐标和点积，可以判断三角形ABC的形状。如果两个非零向量的点积为零，则它们所在的直线垂直，这帮助我们确认了三角形的直角特性。 5. **直线垂直的条件**：填空题5探讨了直线OP与直线OQ垂直的条件，即它们方向向量的点积为零，由此求解出x的值。 6. **平面的法向量与向量的垂直性**：填空题6展示了向量AP同时垂直于AB和AD，这意味着AP是平面ABCD的法向量，并且由于AP与BD的线性组合为零，所以AP也平行于BD。 7. **向量长度的平方与垂直关系**：证明题7说明了AC与BD垂直的充要条件是AD的平方加上BC的平方等于CD的平方加上AB的平方，这可以通过向量的点积性质得出。 8. **线面垂直的证明**：在解答题8中，利用PO是平面ABC的法向量以及点积为零的条件，证明了AB垂直于PC。 9. **四棱锥的性质**：在证明题9中，因为PA、AP与底面垂直，结合BC与PB垂直，可以推导出AB与AD的垂直关系，从而证明底面ABCD是矩形。 10. **直三棱柱的性质**：在最后的问题中，通过AC与BC垂直，D为AB中点，以及AC和BC的长度等于侧棱BB1，可以证明BC1与AB1垂直，并进一步证明BC1平行于平面CA1D。 这些题目和解答充分展示了向量法在解决空间垂直关系问题中的灵活性和实用性，它是解决立体几何问题的关键工具。学生在学习这部分内容时，不仅要掌握基本的向量运算，还要能够灵活运用这些知识去分析和解决问题。