【知识点详解】
1. 不等式的解法：不等式 `-x^2 + 5x + 14 ≤ 0` 可通过因式分解得到 `(x - 7)(x + 2) ≥ 0`，进而求得解集为 `x ≥ 7` 或 `x ≤ -2`。
2. 等差数列性质：在等差数列 `{a_n}` 中，已知 `a_5 = 10` 和 `a_1 + a_2 + a_3 = 3`，可以通过等差数列的性质计算出首项 `a_1` 和公差 `d`，这里可以得出 `a_1 = -2` 和 `d = 3`。
3. 正弦定理与余弦定理：在三角形 `ABC` 中，如果 `B = 2A`，`a = 1`，`b = sqrt(3)`，可以利用正弦定理求出 `sin A`，然后用余弦定理求出边 `c`，解得 `c = 2`。
4. 不等式比较：若 `ac < 0` 且 `c < b < a`，则不等式不一定成立的是 `cb^2 < ab^2`，因为当 `b = 0` 时，比较的两个式子相等。
5. 等比数列求和：等比数列的前4项和为1，公比为2，可以利用等比数列求和公式 `S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)` 计算出前8项和为17。
6. 约束条件下的最值问题：在满足线性约束条件下，目标函数 `z = 5y - x` 的最大值和最小值可以通过画出可行域来确定。这里最大值 `a` 为16，最小值 `b` 为-8，因此 `a - b` 为24。
7. 三角形边角关系：在三角形 `ABC` 中，已知最大角 `∠C` 为120°，以及 `a - b = 4`，`a + c = 2b`，可以推导出最大边 `a` 的长度为14。
8. 数列求和与不等式：数列 `{a_n}` 满足 `a_n = -2n + 11`，求前 `n` 项和 `S_n > 0` 的最大 `n` 值，通过求和公式和不等式解法得到 `n` 的最大值为9。
9. 基本不等式应用：已知 `x + y = 3`，要求 `2x + 2y` 的最小值，利用基本不等式 `2xy ≤ (x + y)^2` 可以找到最小值为4。
10. 等比数列求和与最值：等比数列 `{a_n}` 公比 `q = 2`，求前 `n` 项和 `S_n` 的形式，构建新数列 `{T_n}` 并找最大项，解得最大项 `T_2` 对应的 `n_0 = 2`。
11. 圆与直线的位置关系：在三角形 `ABC` 中，根据正弦定理和点到直线距离公式，判断直线 `ax + by + c = 0` 与单位圆 `x^2 + y^2 = 1` 的位置关系为相切。
12. 不等式解集与均值不等式：解不等式 `x^2 - 4ax + 3a^2 < 0` 得到解集 `(x_1, x_2)`，利用韦达定理和均值不等式求 `x_1 + x_2 + sqrt(x_1 * x_2)` 的最小值，解得最小值为 `sqrt(12a)`。
总结以上，这些知识点包括了不等式的解法、等差数列的性质、正弦定理与余弦定理的应用、不等式比较、等比数列的求和与性质、线性规划中的最值问题、三角形的边角关系、数列求和与不等式的结合、基本不等式的应用、等比数列求和的最值问题、圆与直线的位置关系以及不等式解集的性质与均值不等式的运用。这些都是高中数学中重要的概念和方法，对于理解和解决相关问题至关重要。
