质成绩 y 的相关系数计算如下:
我们需要计算两组数据的均值和方差:
数学成绩均值(μx)= (80+75+70+65+60) / 5 = 70
物理成绩均值(μy)= (70+66+68+64+62) / 5 = 66
接下来,计算协方差(Cov(x, y)):
Cov(x, y) = [(80-70)(70-66) + (75-70)(66-66) + (70-70)(68-66) + (65-70)(64-66) + (60-70)(62-66)] = (10*4 - 5*0 + 0*2 - 5*(-2) - 10*(-4)) = 40 + 10 + 10 = 60
然后,计算数学成绩的标准差(σx)和物理成绩的标准差(σy):
σx = sqrt(((80-70)^2 + (75-70)^2 + (70-70)^2 + (65-70)^2 + (60-70)^2) / 5) = sqrt(100 + 25 + 0 + 25 + 100) = sqrt(250) ≈ 15.81
σy = sqrt(((70-66)^2 + (66-66)^2 + (68-66)^2 + (64-66)^2 + (62-66)^2) / 5) = sqrt(16 + 0 + 4 + 4 + 16) = sqrt(40) ≈ 6.32
相关系数(r)计算为:
r = Cov(x, y) / (σx * σy) = 60 / (15.81 * 6.32) ≈ 0.607
相关系数 r 接近于 0.61,这表明数学成绩和物理成绩之间存在较强的相关性,且由于 r 大于 0,这种关系是正相关,即数学成绩高时,物理成绩也倾向于高。因此,答案是 C. 具有较好的相关关系,且是正相关。
这些题目涉及到的知识点包括:
1. 概率论中的事件与概率:必然事件的概率为1,互斥事件和对立事件的概念。
2. 统计学中的分层抽样和频率分布直方图:如何根据样本数据推断总体特征。
3. 数学建模:通过抽样比例估计整体数量,如米谷粒分问题。
4. 函数关系与相关关系的区别:线性函数与相关系数的计算。
5. 几何概型:计算几何概率,如直线在y轴上的截距大于1的概率。
6. 概率统计中的随机变量及其分布:计算两点顺序相邻的概率。
7. 空间几何中的体积计算:利用体积比例计算点到平面的距离的概率。
8. 相关性分析:计算相关系数以判断两个变量之间的关系强度和方向。
这些知识点涵盖了概率论与数理统计、统计学应用、函数关系与相关性等多个数学领域,适用于高中数学的学习与复习。