2019_2020学年高中数学第2讲讲明不等式的基本方法第5课时放缩法课件新人教A版选修4_5

放缩法是高中数学中证明不等式的一种重要策略，主要应用于处理不等式的证明问题。这种方法的关键在于通过适当放大或缩小不等式中的部分项，使得原本难以直接处理的不等式变得易于证明。放缩法的实质是非等价转化，即在保持不等式方向不变的前提下，对不等式进行变形，没有固定的准则和程序，需要根据题目具体情况灵活运用。 例如，在第一道题目中，比较`lg9·lg11`与`1`的大小，通过放缩法可以将`lg9·lg11`转换为`lg9+lg11/2`，然后利用不等式`lg9+lg11/2<lg99/2`，再进一步转换为`lg100/2`，从而得出`lg9·lg11<1`的结论。 第二道题目中，设`x>0`，`y>0`，比较`A=x+y/(1+x+y)`与`B=x/(1+x)+y/(1+y)`的大小关系，通过放缩法可以将`A`表示为`B`的形式，并利用不等式的性质证明`A<B`。 第三道题目中，设`A=1/(2^10+1)+1/(2^10+2)+...+1/(2^11)`，通过放缩法可以将`A`与`1`进行比较，发现`A<1`，因为每个分母都大于`2^10`，而总共有`2^10`项，所以`A`的和小于`1/(2^10)`的`2^10`倍，即`1`。 第四道题目证明了一个关于数列`an`的不等式，`n*(n+1)/2<an<(n+1)^2/2`，通过放缩法分别对不等式的两边进行放大和缩小，最终证明了这个不等式。 在证明数列不等式时，往往需要先找到合适的放缩方式，然后再进行求和，或者先求和再进行放缩，如例1所示。在例1中，证明`1/2^2+1/3^2+...+1/n^2< n-1/n`，通过先放缩每个项，然后进行求和，成功地证明了不等式。 总结来说，放缩法是一种在证明不等式时极具技巧性的方法，它要求我们具备敏锐的洞察力和良好的数学直觉，能够灵活运用各种不等式关系进行适当的变形，以达到证明目标。在实际应用中，放缩法可以与其它数学工具结合，如极限、导数、积分等，解决更复杂的不等式问题。在学习和练习放缩法时，应注重理解其原理，多做题积累经验，才能熟练掌握这一技巧。