标题和描述中提到的知识点主要涉及初中数学，特别是与一元二次方程的应用有关，特别是用一元二次方程来解决面积问题。这部分内容通常出现在九年级数学的上册，属于第二章的一部分。以下是相关知识点的详细说明：
1. **一元二次方程**：一元二次方程是形如 `ax^2 + bx + c = 0` 的方程，其中 a、b、c 是常数，a 不等于 0。求解一元二次方程通常使用求根公式 `x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a`。
2. **面积问题**：在实际问题中，尤其是几何问题，经常需要通过建立一元二次方程来解决面积的计算。这可能涉及到长方形、正方形或者其他形状的图形。
3. **长方形的性质**：
- 长方形的对边相等，邻边垂直。
- 长方形的面积等于长乘以宽，即 `Area = Length * Width`。
- 长方形的周长是所有边之和，即 `Perimeter = 2 * (Length + Width)`。
4. **利用方程解决问题**：在给定的问题中，如随堂检测和课下作业中的题目，通常需要设定未知数，建立等式，然后解一元二次方程来找到合适的几何尺寸。
5. **等比例问题**：在设计和比较不同图形时，如横竖彩条的比例问题，可以设定比例关系，然后利用一元二次方程找出具体数值。
6. **实际应用问题**：如农场的养鸡场面积、林场渠道的挖掘、矩形挂图的面积计算等，都是将实际问题抽象为数学模型，通过解一元二次方程来得出实际尺寸或结果。
7. **优化问题**：例如，如何设计矩形的尺寸以满足特定条件，或者如何用有限的材料获得最大的面积，这类问题通常需要通过求解最值来解决，而一元二次方程在这里起到了关键作用。
通过以上分析，我们可以看到，一元二次方程不仅是纯数学概念，它在解决实际问题时具有广泛的应用，是初中数学学习的重点内容之一。学生需要熟练掌握一元二次方程的求解方法，并学会将其应用到实际问题中，以解决与面积、周长等相关的问题。
