【数的开方与二次根式】是初中数学的重要概念,尤其在中考复习阶段更为关键。这个主题主要涉及立方根、平方根、算术平方根、开方运算以及二次根式的化简和运算。
1. **立方根**:立方根是指数为3的幂运算的逆运算。例如,-8的立方根是-2,因为(-2)^3 = -8。选项B正确。
2. **平方根与二次根式**:平方根通常指的是非负平方根,也就是算术平方根。对于√x-1有意义,意味着x-1必须大于等于0,因此x的取值范围是x≥1,选项A正确。
3. **化简二次根式**:√42的结果是4√2,因为42 = 2 × 21,而21可以进一步分解为4 × 5,所以√42 = √(4 × 21) = √4 × √21 = 2√21。最接近的选项是B,但要注意题目要求化简到最简形式,答案应该是4√2。
4. **正方形的边长与面积**:面积为4的正方形,其边长是面积的平方根,即4的平方根,也就是2,这是算术平方根的概念。选项B正确。
5. **二次根式的意义**:x√4-x有意义,意味着4-x必须大于等于0,因此x的取值范围是x≤4,选项C正确。
6. **二次根式的乘法**:√2 × √8 = √(2 × 8) = √16 = 4,选项B正确。
7. **二次根式的运算规则**:正确的运算是D,√2 × √3 = √6,其他选项违反了根号下的乘法法则或误解了平方运算的性质。
8. **计算器的使用**:根据题目描述的操作,按键顺序可能得到的是根号下2的近似值,结果最接近2.6。
9. **估算无理数**:10-√13最接近的整数是6,因为3<√13<4,所以10-√13接近于10-4=6,选项C正确。
10. **二次根式的除法**:√18÷√2 = √(18÷2) = √9 = 3,这是一个简单的除法运算。
11. **二次根式的减法**:3√5 - √20 = 3√5 - 2√5 = √5。
12. **二次根式的化简**:
(1) √75 = √25×3 = 5√3
(2) -√1.21 = -√(1.1)^2 = -1.1
(3) √0.4 = √(2/5) = √2/√5 = √10/5
(4) √1 1/3 = √(4/3) = 2√3/3
(5) 2² - √3 = 4 - √3
13. **二次根式的乘除与加减**:
(1) 3√2/3 × (-18√15) ÷ 12√25 = (-3 × 18 × 1/2) × (√2/3 × √15/25) = -27/2 × √(2/3 × 15/25) = -27/2 × √(2/5) = -27√10/10
(2) 12√12 - 3√13 + √2 = 12 × 2√3 - √3 - √2 = 24√3 - √3 - √2 = 23√3 - √2
14. **图形面积问题**:阴影部分的面积可以通过正方形的边长差来计算,面积为2的小正方形边长为√2,面积为8的大正方形边长为2√2,所以阴影部分面积为√2 × (2√2 - √2) = 2,选项B正确。
在复习数的开方与二次根式这部分内容时,学生需要熟练掌握开方运算、二次根式的化简、乘除以及与几何图形结合的应用,同时理解无理数的估算和平方根、立方根的概念。通过解决类似题目,能有效提高这部分知识的运用能力。