2021高考数学一轮复习统考第6章数列第2讲等差数列及其前n项和课时作业含解析北师大版

等差数列是一种重要的数学概念，它在高中数学中占据着核心地位，特别是在高考复习阶段。等差数列指的是一个数列，其中任意相邻两项之间的差是一个常数，这个常数被称为公差（d）。本题涉及的知识点主要围绕等差数列的性质及其前n项和展开。 1. **等差数列的性质**：等差数列的性质包括但不限于首项（a1）、公差（d）和通项公式（an = a1 + (n - 1)d）。此外，还有等差中项的概念，即对于等差数列中的三项a、b、c（假设a<b<c），有2b=a+c。 2. **等差数列的前n项和**：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，其中n是项数，a1是首项，d是公差。这个公式在解决求和问题时非常关键。 3. **等差数列的等式应用**：在等式a2 + 3a8 + a15 = 56中，可以利用等差数列的性质将等式转化为5a8 = 56，进一步求出a8的值，再求出公差d。 4. **等差数列的对称性**：如a2 + a14 = 2a8，这是因为等差数列中，中间项的两倍等于首尾项的和。类似地，a1 + a15 = 2a8，这些关系在求和问题中经常用到。 5. **等差数列的和与项的关系**：例如，S9 = 9a5，这是因为等差数列的前n项和可以表示为n/2 * (首项 + 尾项)，而尾项是首项加上(n-1)倍的公差，所以S9 = 9(a1 + 8d) = 9a5。 6. **等差数列的前n项和的计算**：例如，S10 = 10/2 * (a1 + a10) = 5(a1 + a6)，S9 = 9a5，S12 = 6 * (a1 + a12) = 6 * 2a7，这些都是等差数列前n项和的计算技巧。 7. **等差数列的奇偶项性质**：当n为偶数时，Sn = n/2 * (首项 + 尾项)；当n为奇数时，Sn = (n+1)/2 * (首项 + 中间项)。 8. **等差数列的性质应用**：如题目中a5 = 6，a2 + a4 + a9 = 3a5 = 18，这是利用了等差数列的性质快速求和。 9. **等差数列的单调性和最值**：在题目中，如果知道a1>0，a3+a10>0，a6a7<0，可以推断出公差d<0，数列是递减的，a6是最大值，a7是最小值。 10. **等差数列的和与项数的关系**：通过分析S9、S12等的性质，可以找到满足Sn>0的最大自然数n。 11. **等差数列的最值判断**：S6，S7相等并且大于S8，说明S6和S7可能是数列的局部最大值。 12. **等差数列和的跳跃变化**：通过Sm-1，Sm，Sm+1的连续变化，可以确定数列的公差，并计算出m的值。 13. **正项等差数列的通项求解**：由数列的递推关系确定其等差性，然后求出公差，再利用通项公式计算a7。 通过以上分析，我们可以看到等差数列及其前n项和在解决具体问题时的应用，以及如何通过等差数列的性质来简化计算和推理。掌握这些知识点对于应对高考数学的等差数列部分至关重要。