2020_2021学年高中数学课时分层作业23用二分法求方程的近似解新人教A版必修1

【二分法】是求解方程近似解的一种经典算法，主要应用于连续函数零点的寻找。在高中数学中，二分法是必修内容之一，尤其在处理无明显解析解的方程时，这种方法显得尤为重要。二分法的基本思想是通过不断将含零点的区间对半分割，来逐步逼近零点。以下是对二分法的详细解释： 1. **二分法的适用条件**： - 函数必须在所考虑的区间内连续。 - 需要找到一个包含零点的闭区间[a, b]，使得f(a)和f(b)的符号相反，即f(a) * f(b) < 0。这是因为根据介值定理，连续函数在闭区间内的零点至少有一个。 2. **二分法步骤**： - (1)选取区间[a, b]，计算中点c = (a + b) / 2。 - (2)评估f(c)的值。如果f(c) = 0，则c就是零点，结束算法。 - (3)若f(a) * f(c) < 0，则零点在[a, c]内；若f(c) * f(b) < 0，则零点在[c, b]内。 - (4)重复步骤(1)和(2)，每次将含有零点的区间替换为新的子区间，直到达到所需的精度。 3. **精度与停止条件**： - 通常，我们会设定一个最小的区间长度或允许的误差范围，比如精确到小数点后n位。当新区间长度小于这个值或连续两个区间的中点函数值之差的绝对值小于允许的误差时，停止算法，并选取最后一个区间的中点作为方程的近似解。 4. **二分法的优缺点**： - 优点：二分法简单直观，可以在计算机上方便实现，且对于大多数连续函数都能找到零点。 - 缺点：不能保证找到所有的零点，只适用于单零点的区间，且收敛速度较慢，特别是在零点附近函数变化缓慢的情况下。 5. **实例分析**： - 在给定的课时作业中，给出了多个例题，例如选择题中的第3题，通过不断使用二分法计算函数f(x) = x^3 + x^2 - 2x - 2在不同点的值，最终确定零点位于1.406 25和1.437 5之间，选择近似根为1.42（精确度为0.05）。 6. **应用举例**： - 填空题第8题涉及到了二分法在实际问题中的应用，这里是在检查电路板故障，通过将焊接点对半分组进行检测，最多需要检查6次就能确定具体故障位置。 二分法是一种实用的数值方法，它利用了连续函数的性质来逼近方程的解。在高中数学中，学习和掌握二分法是理解和应用微积分概念的重要部分，也是解决实际问题的基础技能。